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Matrix mit einer Unbekannten invertieren

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Determinanten, Inverse Matrix, Matrizenrechnung

Chjester aktiv_icon

22:41 Uhr, 13.12.2015

Hey Leute,

habe mal wieder ein Problem, ich habe eine Matrix

A = (1,0,3;

2,1,8;

2, - 3, a)

Jetzt die Aufgabe: Für welchen Parameter

a \in R

ist die Matrix A invertierbar ?
Danach soll mit Matrix

A^{- 1}

bestimmt werden in der Abhängigkeit von

a

.

Meine Lösung bis jetzt.
Damit eine Matrix invertierbar ist, muss sie quadratisch sein, und die DET A ungleich 0.

Ich habe Det A berechnet und komme auf DET

A = 1 a

.
somit ist

a = 0

und die Matrix ist nicht invertierbar oder liege ich falsch, nur wie bekomme ich jetzt den Parameter für a raus damit ich die Matrix invertieren kann ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix

DerDepp aktiv_icon

01:53 Uhr, 14.12.2015

Hossa :-)

Wie du schon richtig ausgerechnet hast, muss

a \neq 0

gelten, damit die Matrix invertierbar ist. Die Inverse kannst du wie folgt bestimmen:

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 8 \\ 2 & - 3 & a \end{array}); (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

Wir subtrahieren das 2-fache der ersten Zeile, also

(2 0 6)

bzw.

(2 0 0)

, von Zeile 2 und Zeile 3:

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & - 3 & a - 6 \end{array}); (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 0 & 1 \end{array})

Wir addieren das 3-fache der zweiten Zeile, also

(0 3 6)

bzw.

(- 6 3 0)

, zu Zeile 3:

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a \end{array}); (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ - 8 & 3 & 1 \end{array})

Wir dividieren die dritte Zeile durch

a

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}); (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ - \frac{8}{a} & \frac{3}{a} & \frac{1}{a} \end{array})

Wir subtrahieren das 2-fache der Zeile 3, also

(0 0 2)

bzw.

(- \frac{16}{a} \frac{6}{a} \frac{2}{a})

, von Zeile 2:

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}); (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ - 2 + \frac{16}{a} & 1 - \frac{6}{a} & - \frac{2}{a} \\ - \frac{8}{a} & \frac{3}{a} & \frac{1}{a} \end{array})

Wir subtrahieren das 3-fache der Zeile 3, also

(0 0 3)

bzw.

(- \frac{24}{a} \frac{9}{a} \frac{3}{a})

, von Zeile 1:

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}); (\begin{array}{c} 1 + \frac{24}{a} & - \frac{9}{a} & - \frac{3}{a} \\ - 2 + \frac{16}{a} & 1 - \frac{6}{a} & - \frac{2}{a} \\ - \frac{8}{a} & \frac{3}{a} & \frac{1}{a} \end{array})

Die rechte Matrix ist die gesuchte Inverse. Alle ihre Elemente sind für

a \neq 0

definiert.

Chjester aktiv_icon

02:28 Uhr, 14.12.2015

Ich danke dir, die Fragestellung in der Aufgabe hat mich an meinem Lösungsweg zweifeln lassen vielen dank für die inversion, so kann ich morgen mein Ergebnis kontrollieren.

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