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Matrix mit reelen Parametern lösen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Determinanten, Matrizenrechnung

poetman aktiv_icon

12:32 Uhr, 07.10.2010

Hallo ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe:

Betrachtet werde die Matrix

A = (\begin{matrix} 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & q \\ - 2 & 2 & q \end{matrix})

mit dem reellen Parameter

q

.

a)Bestimmen Sie die Determinante von

A!

Für welche Werte von

q

existiert die Inverse von A?
b)Bestimmen Sie die Lösungsmenge

L_{q}

des linearen Gleichungssystems Ax=b mit

b = {(25,10,15)}^{T}!

Kann

q

so bestimmt werden, dass

x = {(1,2,3)}^{T}

zur Lösungsmenge

L_{q}

gehört?

zu

a)

habe ich folgendes Ergebniss durch berechnung der

det (A)

bekommen.

| \begin{matrix} 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & q \\ - 2 & 2 & q \end{matrix} | | \begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \\ - 2 & 2 \end{matrix} |

det (A) = - 10 q + 40

\to q = - 4

(sorry der Fehlerteufel!

10 q - 40

war falsch abgetippt^^")

bei Aufgabenteil

b)

stehe ich aber auf dem Schlauch. Wie stelle ich dieses GS auf, welches den Parameter enthält? Oder setzte ich jetzt die

- 4

ein? =__=" ich blicks nicht. Generell bin ich nicht sonderlich firm mit dem Lösen von GS. Wenn sich jemand die Mühe machen würde mir ausführlich zu erklären wie ich hier zur Lösung komme wäre ich euch sehr verbunden. MfG poetman

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

QPhma aktiv_icon

19:50 Uhr, 07.10.2010

a)

Bei der Determinante komme ich auf

det (A) = 40 - 10 \cdot q

.
Die Bedeutung des Werts

q = 4

müsstest Du dann noch erklären, um

a)

zu lösen.

zu

b)

Das Gleichungssystem kann man genauso aufschreiben, als ob kein Parameter

q

vorhanden wäre:

(\begin{matrix} 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & q \\ - 2 & 2 & q \end{matrix}) \cdot \vec{x} = (\begin{matrix} 25 \\ 10 \\ 15 \end{matrix})

Der Weg, eine Lösung für dieses Gleichungssystem zu finden, hängt davon ab, welche Methoden Du kenngelernt hast. Zum einen kannst Du von der Matrixschreibweise zur Schreibweise mit 3 separaten Gleichungen und den Variablen

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

übergehen, und dann mit Additions- oder Einsetzungsverfahren das System lösen. Oder Du verwendest den Gaußschen Algorithmus. Die eleganteste Weg ist, die Inverse der Matrix zu berechnen und dann die Matrixgleichung auf beiden Seiten mit dieser Inversen zu multiplizieren. Wegen des Parameters

q

werden die entstehenden Terme länger sein, als wenn nur Zahlen in der Matrix stehen würden.

Welchen Weg willst Du benutzen?

poetman aktiv_icon

16:07 Uhr, 08.10.2010

In meinem Mathekurs wird die Methode der einzelnen Gleichungen genutzt, daher bitte mit

x_{1}, x_{2}, x_{3}

Honig1 aktiv_icon

16:22 Uhr, 08.10.2010

2 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} = 25

x_{1} + 3 x_{2} + q x_{3} = 10

- 2 x_{1} + 2 x_{2} + q x_{3} = 15

So jetzt kannst es nach Schema F machen. 3 Gleichungen 3 Unbekannte.
Tipp: Mache eine Fallunterscheidung q=-4 und alle anderen.

poetman aktiv_icon

16:55 Uhr, 08.10.2010

Hallo Honig, danke für die Antwort. Diese Gleichungen hätte ich auch so aufgestellt bekommen, beim Lösen haperts - trotzdem ich versuche jetzt mal mein glück - mal schaun was ich hinbekomme. @Honig, was meinst du mit Fallunterscheidung für

q = - 4

? Ich kenne nur Fallunterscheidungen bei partieller Differentation?!"^^.

I

2 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} = 25

II x_1+3x_2+qx_3=10
III -2x_1+2x_2+qx_3=15

I

2 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} = 25 | - 4 x_{2} | - 5 x_{3}

2 x_{1} = - 4 x_{2} - 5 x_{3} + 25 | : 2

x_{1} = - 2 x_{2} - 2,5 x_{3} + 12,5

[- 2 x_{2} - 2,5 x_{3} + 12,5

einsetzen für

x_{1}]

- 2 x_{2} - 2,5 x_{3} + 12,5 + 3 x_{2} + q \cdot x_{3} = 10 | - 12,5 | + 2,5 x_{3} | - q \cdot x_{3}

x_{2} = 2,5 x_{3} - q \cdot x_{3} - 2,5

[

kann ich

2,5 x_{3} - q \cdot x_{3}

- 2,5 \cdot q \cdot x_{3}

zusammenfassen?

]

Äh und nun?! Oh man, Verpeilung - ich glaub es ist so ungleublich einfach aber mir fehlt der Schlüssel. Bitte um Hilfe!

\frac{:}{}

QPhma aktiv_icon

00:59 Uhr, 09.10.2010

Nein, so kannst Du das nicht zusammenfassen. Du musst den gemeinsamen Faktor

x_{3}

ausklammern, also

2,5 \cdot x_{3} - q \cdot x_{3} = (2,5 - q) \cdot x_{3}

Diesen Ausdruck kannst Du in Gl. III einsetzen. Die Unbekannte

x_{1}

musst Du natürlich in Gl. III auch ersetzen, mit dem gleichen Term, den Du auch bei Gl. II verwendet hast. Das ergibt dann eine Gleichung, die nur noch

x_{3}

als Unbekannte enthält und aufgelöst werden kann.
Achtung!

q

ist keine Unbekannte, auch wenn es eine Variable ist.

q

ist in dieser Aufgabe ein Parameter. Das heißt

q

denkt man sich immer als einen festen Wert, der zu Beginn der Aufgabe feststeht. Man setzt nur deshalb keine Zahl ein, weil man alle Aufgaben mit verschiedenen q-Werten auf einmal lösen will.

Was die Fallunterscheidung betrifft, so ist das eine Methode, die in der Mathematik immer dann eingesetzt wird, wenn man je nach Wert einer Variablen unterschiedliche Lösungswege gehen muss. Wenn Du

z

. B. an eine Stelle kommst, wo Du durch einen Term teilen willst, dieser Term für einen bestimmten Wert einer Variablen aber Null wird, dann musst Du zwei Fälle unterscheiden: Term

= 0

und Term

\neq 0

. Die weitere Rechnung muss auf getrennten Wegen erfolgen. Honig hat Dir schon den Tip gegeben, dass für

q = 4

irgenwie ein Extraweg nötig wird. Das ist nämlich gerade der Wert für

q,

bei dem

det (A) = 0

wird.

poetman aktiv_icon

13:34 Uhr, 10.10.2010

Hallo danke für die Ausführliche Erklärung. Falls ich im Folgenden irgendwo einen Rechenfehler eingebaut haben sollte bitte anmerken- dank euch.

@QPhma:
Für

q = - 4

wird die

det (A) = 0

. Damit wäre die Matrix A meines Verständnisses nach SINGULÄR. Aber was nützt mir dieses Wissen nun? Ich könnte mittels der Überprüfung der Rangs schauen ob unendlich viele Lösungen oder keine Lösungen vorliegen... ist das der Weg den ich gehen muss?

So was ich bisher gerechnet habe:-)

I

2 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} = 25

x_{1} + 3 x_{2} + q x_{3} = 10

III

- 2 x_{1} + 2 x_{2} + q x_{3} = 15

2 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 = 25 | - 4 x 2 | - 5 x 3

2 x 1 = - 4 x 2 - 5 x 3 + 25 | : 2

x 1 = - 2 x 2 - 2,5 x 3 + 12,5

[- 2 x_{2} - 2,5 x_{3} + 12,5

einsetzen für

x_{1}]

- 2 x_{2} - 2,5 x_{3} + 12,5 + 3 x_{2} + q x_{3} = 10 | - 12,5 | + 2,5 x_{3} | - q x_{3}

x_{2} = 2,5 x_{3} - q x_{3} - 2,5

AB HIER GEHTS NEU WEITER:

[x_{1}

und

x_{2}

einsetzen in III

]

III

- 2 \cdot (12,5 - 2 \cdot (- 2.5 x_{3} - q x_{3} - 2,5) - 2,5 x_{3}) - 5 x_{3} - 2 q x_{3} - 5 + q x_{3} = 15 | + 5

III

- 2 \cdot (12,5 - 5 x_{3} + 2 q x_{3} + 5 - 2,5 x_{3}) - 5 x_{3} - 2 q x_{3} + q x_{3} = 20

III

- 25 - 10 x_{3} - 4 q x_{3} - 10 + 5 x_{3} - 5 x_{3} - 2 q x_{3} + q x_{3} = 20 | + 25 | + 10

III

- 10 x_{3}

-5qx_3

= 55

III

x_{3} (- 10 - 5 q) = 55 | : (- 10 - 5 q)

III

x_{3} = \frac{55}{- 10 - 5 q}

Ich habe jetzt

x_{1}, x_{2}, x_{3}

ermittelt. Und nun? Vielen Dank für noch mehr Hilfe. ;-)

QPhma aktiv_icon

22:33 Uhr, 10.10.2010

Beim Einsetzen ist Dir ein Fehler passiert. Und zwar hast Du an zwei Stellen

x_{2} = - 2.5 x_{3} - q \cdot x - 2,5

eingesetzt, an statt

x_{2} = 2.5 x_{3} - q \cdot x - 2,5,

wie Du vorher selbst richtig berechnet hast. Dadurch ist das Ergebnis für

x_{3}

falsch. Es muss heißen

x_{3} = \frac{11}{4 - q}

Als nächsten Schritt musst Du diesen Ausdruck in die Formeln für

x_{2}

und

x_{1}

einsetzen. Dadurch bekommst Du die Lösungen für

x_{1}

und

x_{2},

in denen nur Zahlen und der Parameter

q

vorkommen.

An der Lösung für

x_{3}

kannst Du auch sehen, warum man den Fall

q = 4

(Achtung, nicht

q = - 4!)

gesondert behandeln muss. Denn dann müsste man in der Lösungsformel durch 0 teilen. Das ist genau der Fall, wo die Matrix des Gleichungssystems singulär wird. Du hast ja selbst schon geschrieben, wie Du rausbekommst, ob in dem Fall gar keine Lösung oder unendlich viele Lösungen existieren. Sollte es unendlich viele Lösungen geben, ist sicher auch gefragt, diese Lösungen zu bestimmen (die enthalten dann einen zusätzlichen Parameter).

Am Schluss vergiss nicht die Frage zu beantworten, ob es einen Wert für

q

gibt, so dass

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

Lösungsvektor ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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