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Matrix trigonalisieren

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Eigenvektor, Matrizenrechnung, Trigonalisieren

i-benni aktiv_icon

18:37 Uhr, 26.07.2010

Hallo,

ich habe eine (hoffentlich) kurze Frage zu der folgenden Aufgaben:

Ich soll die Matrix $A : = (\begin{matrix} 4 & 0 & 0 & 3 \\ 3 & - 2 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ - 3 & 3 & 0 & 1 \end{matrix})$ trigonalisieren.

Charakteristisches Polynom ist ${(λ - 1)}^{4}$ also EW 1 und als zugehörigen EV habe ich $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ berechnet.

Diesen ergänze ich mit $e_{1}, e_{2}, e_{4}$ zu einer Basis des $R^{4}$ .

Bzgl. der durch A beschriebenen linearen Abbildung erhalte ich bzgl. dieser Basis die Matrix

$(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 1 \end{matrix})$

Hier nehme ich jetzt die 3x3 Matrix unten Rechts und als EV zum EW 1 erhalte ich $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})$

Ergänzt mit $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) u n d (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ erhalte ich die Matrix $(\begin{matrix} 1 & 3 & - 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ die obere Dreiecksgestalt hat.

Aber wie bekomme ich jetzt diese "kleineren Vektoren" wieder in vektoren aus dem $R^{4}$ überführt? Und wie sieht die schlussendlich gesuchte trigonalisierte Matrix nun aus?

Vielen Dank,

Gruß Benni

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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04:28 Uhr, 27.07.2010

Schau dir mal in folgendem Link den Trigonalisieralgorithmus bzw das Beispiel darunter an:

http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_lineare_algebra/24_trigonalisierung.pdf

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17:14 Uhr, 27.07.2010

Hey,

danke für den Link aber so richtig verstehe ich es immer noch nicht. Wie muss jetzt die Linearkombination des neuen "kleineren" EV von meiner ergänzten "Hauptbasis" aussehen ?

Danke, Gruß

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19:10 Uhr, 27.07.2010

Womöglich geht ihr in eurem Skript einen etwas anderen Weg.
Nach dem (3mal auszuführenden) Algorithmus aus dem Link müsste man jetzt wieder den Vektor v bilden:

\vec{v} = 1 \cdot (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - 1 \cdot (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})

Diesen Vektor kann man dann jetzt wieder entsprechend mit einem passenden Vektor der (letzten) Basis tauschen.

Die neue Basis könnte dann z.B. so lauten:

B = ((\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}))

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20:02 Uhr, 27.07.2010

Ok, das heißt im Prinzip, der neue "kleinere" Eigenvektor gibt mir die Koeffizienten für die Linearkombination vor. Diese besteht aus den noch nicht getauschten / ersetzten Vektoren der ursprünglich gewählten Basis, richtig?

So eine Trigonalmatrix ist nicht eindeutig bestimmt, oder?

Danke

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20:14 Uhr, 27.07.2010

Ich stimme dir in allem zu =)

Eine Sache macht mich nur noch etwas stutzig.
Ganz oben hast du ja deinen Eigenvektor (0;0;1;0) rausbekommen.
Dieser ist ja (zufällig) gleichzeitig schon genau einer der Vektoren der Standardbasis, also e3.
Deswegen bringt das Tauschen ja hier nichts und die Basis bleibt die Standardbasis.
Wie kamst du denn dann auf die Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & - 2 & 0 \\ 0 & - 3 & 3 & 1 \end{array})

denn die Transformation

S^{- 1} A S

führt ja dann zu keiner Veränderung da

S = S^{- 1} = E

Edit:

Hat sich erledigt, S ist dann bei dir natürlich

(\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

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21:11 Uhr, 27.07.2010

So sieht's aus ;)

Danke nochmal für deine Hilfe!

Gruß

Benni

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