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Matrixabbildung und Lösbarkeit LGS
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Matrizenrechnung
Vektorräume
Tags: Linear Abbildung, Lineare Gleichungssysteme, Matrizenrechnung, Vektorraum
 
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Hallo, ich habe eine Matrix und einen Vektor gegeben. Ich soll die Lösbarkeit des LGS angeben, ohne den Gauß-Algorithmus zu benutzen. In den vorherigen Teilaufgaben habe ich raus bekommen, dass die Matrixabbildung surjektiv und nicht injektiv ist. Dann folgt doch aus der Surjektivität, dass mindestens eine Lösung hat? Folgt denn auch aus der nicht-Injektivität, dass es mehr als eine Lösung gibt, oder sagt mir diese Eigenschaft nichts über die Lösbarkeit des LGS aus? Viele Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Dann folgt doch aus der Surjektivität, dass mindestens eine Lösung hat?" Ja. "Folgt denn auch aus der nicht-Injektivität, dass es mehr als eine Lösung gibt" Ja. |
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Also hat das LGS unendlich viele Lösungen? Aber so ganz verstehe ich das mit der Injektivität nicht. Also die Abbildung ist injektiv es gibt genau eine Lösung ist logisch. Aber wieso folgt aus der nicht-Injektivität dass unendlich viele Lösungen hat? Vielleicht wird diese Gleichung ja gerade nur durch ein erzeugt? Kann das nicht sein? |
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"Aber wieso folgt aus der nicht-Injektivität dass unendlich viele Lösungen hat?" Für eine allgemeine Abbildung würde das nicht folgen. Aber bei linearen Abbildungen ist es halt so, dass wenn es zwei verschiedene Lösungen gibt, dann schon unendlich viele. Das kann man auch einfach zeigen, denn wenn und , dann auch für ein beliebiges , aus Linearität von . |
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Hmm, okay. Es hat also was mit der Linearität zu tun. Hab noch nicht ganz verstanden was, aber vielleicht kommt das ja noch. Danke für die schnelle Antwort. |
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