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Matrixdarstellung einer linearen Abbildung

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Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung, Matrix, Matrixabbildung, Matrixdarstellung, Matrixdarstellung der Abbildungsgleichungen, Matrizenrechnung

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09:24 Uhr, 27.06.2020

Gegeben sind die Vektoren

\vec{a} = {(- 1,0,1)}^{t}, \vec{b} = {(0,1,1)}^{t}, \vec{c} = {(- 1,1, - 1)}^{t}

und

\vec{u} = {(9,3,9)}^{t}

des

ℝ^{3}

.

Frage: Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der linearen Abbildung

L,

die

\vec{a}

um den Faktor 2 streckt,

\vec{b}

unverändert lässt und

\vec{c}

um den Faktor

- 2

skaliert, und berechnen sie das Bild von

\vec{u}

unter L.

Ich bitte um Hilfe, bin echt planlos und es ist wichtig das ich diese Beispiel sehr gut beherrsche. Ich bedanke mich im Voraus für jegliche Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

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09:31 Uhr, 27.06.2020

In der Basis

a, b, c

hast du offensichtlich die Matrix
200
010
00-2

Wenn du die Darstellung dieser Matrix in der Standardbasis (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) brauchst, dann musst du Basistransformation durchführen.
S. z.B. hier, wie das geht:
mathepedia.de/Basiswechsel.html
oder hier:
http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node36.html

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09:45 Uhr, 27.06.2020

Ist die Matrix der Basis von

a, b, c

jetzt die Lösung? Oder muss ich noch etwas machen?

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09:49 Uhr, 27.06.2020

Ich würde die Aufgabe so verstehen, dass du die Matrix in der Standardbasis brauchst.
Also musst du den Basiswechsel machen.

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09:54 Uhr, 27.06.2020

Würde ich hier dann so die Standardbasis berechnen?

{(\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix})}^{- 1} \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

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10:02 Uhr, 27.06.2020

Nein, du musst mit der Matrix arbeiten, die aus a,b,c zusammengesetzt ist.
Kuck noch einmal die Beispiele an.

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10:58 Uhr, 27.06.2020

Also habe jetzt folgendes gemacht:

Die Eigenwerte in einer Matrix:

(\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix})

und da ja folgendes gilt:

L (\begin{matrix} - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix})

somit berechnen

L

bezüglich der Standardbasis:

L = (\begin{matrix} - 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})}^{- 1}

Ist das korrekt jetzt?

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11:04 Uhr, 27.06.2020

Ich weiß nicht, was

L

sein soll, aber auf jeden Fall ist es nicht die richtige Matrix bzgl. der Standardbasis.

Wenn man Basiswechsel macht, wird aus Matrix

A

Matrix

U A U^{- 1}

mit der passenden Transformationsmatrix

U

.
Im allgemeinen Fall ist es recht viel Rechnerei, aber wenn zu der Standardbasis wechselt, ist

U

einfach aufzustellen. Sie hat einfach Basisvektoren der Oriniginalbasis als Spalten. Also in diesem Fall sind

a, b, c

Spalten von

U

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11:09 Uhr, 27.06.2020

Und was ist die Matrix A hier?

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11:11 Uhr, 27.06.2020

Die Diagonalmatrix
200
010
00-2

Du versuchst, diese Matrix in der Standardbasis darzustellen.

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11:18 Uhr, 27.06.2020

Also dann haben wir ja folgendes:

UAU^(-1)

A = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix})

U (

Spalten

a, b, c) = (\begin{matrix} - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})

Und somit:

(\begin{matrix} - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})}^{- 1}

Richtig?

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11:19 Uhr, 27.06.2020

Ja, jetzt richtig

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11:20 Uhr, 27.06.2020

Danke vielmals!

P . S

. es kommt genau dasselbe wie oben raus :-)

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11:26 Uhr, 27.06.2020

Wichtig ist nicht nur das Ergebnis, sondern auch der Weg zum Ergebnis. Man muss schon wissen, warum das Ergebnis richtig ist.

Am Ende soll
2/3 4/3 -4/3
1 0 1
-5/3 2/3 1/3
rauskommen.

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13:24 Uhr, 27.06.2020

Und das rechnet man mal

\vec{u},

damit man dann das Bild von

u

kriegt?

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19:23 Uhr, 27.06.2020

Ja, genau

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