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Matrixexponential

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

daniel7 aktiv_icon

18:33 Uhr, 12.07.2015

Hallo,
ich soll zur Matrix

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & - 3 & - 2 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix})$

$e^{t \cdot A}, t \in ℝ$ berechnen.

Die Definition von $e^{M}$ ist $\sum_{i = 1}^{n} \frac{M^{k}}{k!}$

$B^{2} = t^{2} (\begin{matrix} 4 & - 3 & 3 \\ 3 & - 4 & 5 \\ 3 & - 5 & 6 \end{matrix})$

$B^{3} = t^{3} (\begin{matrix} 8 & - 9 & 9 \\ 9 & - 7 & 6 \\ 9 & - 6 & 5 \end{matrix})$

$B^{4} = t^{4} (\begin{matrix} 16 & - 15 & 15 \\ 15 & - 18 & 19 \\ 15 & - 19 & 20 \end{matrix})$

Was man mir zur Lösung noch an die Hand gegeben hat, ist dass man das durch bisschen ausprobieren und hinsehen lösen kann.
Ich weiß darüberhinaus noch, dass die Einträge in der Lösung die Form $a e^{b}$ haben müssen.

Wie komme ich denn nun auf die Lösung?

Viele Grüße,
Daniel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

08:20 Uhr, 13.07.2015

Hallo,

zunächst geht die Summe für exp(M) bis $\infty$ .

Der Standard-Weg zur Berechnung führt über die Diagonalisierung von A oder die Jordan-Normalform. Ist das bekannt oder soll - wie Du andeutest "geraten" werden?

Was bedeutet bei Dir B?

Gruß pwm

daniel7 aktiv_icon

09:12 Uhr, 13.07.2015

Hallo,
A soll gleich $B$ sein. Da habe ich mich verschrieben. Dass die Summe bis unendlich geht ist mir klar - auch verschrieben $: ($

Jordan Normalform ist eingeführt jedoch nicht im Zusammenhang mit $e$ . Darf ich also nicht benutzen. Also es soll "geraten" werden.

Viele Grüße,
Daniel

michaL aktiv_icon

09:47 Uhr, 13.07.2015

Hallo,

> Jordan Normalform ist eingeführt

Das ist gut.

> jedoch nicht im Zusammenhang mit e. Darf ich also nicht benutzen. Also es soll "geraten" werden.

Halte ich für ein Gerücht. Bitte erst abklären. Raten wird echt nicht einfach.:-)

Mfg Michael

daniel7 aktiv_icon

10:01 Uhr, 13.07.2015

Ich habe gerade nochmals das Skript durchgeschaut und konnte da nichts von $e$ finden.

pwmeyer aktiv_icon

10:59 Uhr, 13.07.2015

Hallo,

ich habe das Gefühl, dass Du die Aufgabe falsch abgeschrieben hast. Kannst Du das mal prüfen?

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

11:00 Uhr, 13.07.2015

Hallo,

das ist ja auch nicht notwendig.

Vielleicht liest du dir mal de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential#Berechnung_des_Matrixexponentials durch, da steht alles, was ich schreiben wollte bzw. schon geschrieben habe.

Mfg Michael

daniel7 aktiv_icon

22:18 Uhr, 18.07.2015

Hi,
auf Wikipedia ist das schon ganz gut erklärt, jedoch habe ich noch eine kleine Frage dazu:

Ich betrachte jetzt nur einmal $e^{A}$ (ohne $t) :$

Bestimmt habe ich
$J = (\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})$

$T = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix})$

$T^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix})$

sodass $A = T \cdot J \cdot T^{- 1}$ gilt.

Für die Berechnung von $e^{A}$ gilt nun

$e^{A} = T \cdot e^{J} \cdot T^{- 1}$
wobei $J$ als $J_{1} (- 1) + J_{2} (2)$ geschrieben werden kann (Direkte Summe; Zeichen leider nicht gefunden)

Also $e^{A} = T \cdot (e^{J_{1} (- 1)} + e^{J_{2} (2)}) \cdot T^{- 1}$

$e^{J_{2} (2)} = e^{2},$ da Jordankästchen nur $1 \times 1$

$e^{J_{1} (- 1)} =$ exp $[$ $- 1 \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})]$

= exp $[$ $- 1 \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})] \cdot$ exp $[$ $(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})]$

Der erste Faktor gibt $(\begin{matrix} e^{- 1} & 0 \\ 0 & e^{- 1} \end{matrix})$

Für den zweiten Faktor kann man eine Reihenentwicklung durchführen und erhält:
$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + . .$ . $= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

Das Ergebnis des Produktes ist schließlich:

$(\begin{matrix} e^{- 1} & e^{- 1} \\ 0 & e^{- 1} \end{matrix})$

Zusammengesetzt würde also

$(\begin{matrix} e^{- 1} & e^{- 1} & 0 \\ 0 & e^{- 1} & 0 \\ 0 & 0 & e^{2} \end{matrix}) = e^{J}$

herauskommen.
Führe ich hier nun $e^{A} = T \cdot e^{J} \cdot T^{- 1}$ aus, bekomme ich ein falsches Ergebnis.

Das bekomme ich:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B0%2C+1%2C+1%7D%2C+%7B1%2C+0%2C+1%7D%2C%7B1%2C+-1%2C+1%7D%7D+*+%7B%7Be%5E-1%2C+e%5E-1%2C+0%7D%2C+%7B0%2C+e%5E-1%2C+0%7D%2C+%7B0%2C+0%2C+e%C2%B2%7D%7D+*+%7B%7B-1%2C+2%2C+-1%7D%2C+%7B0%2C+1%2C+-1%7D%2C+%7B1%2C+-1%2C+1%7D%7D

Richtig ist laut Mathematica:
$\to$ Bild

Was mache ich wieder falsch?

Viele Grüße,
Daniel

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