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Matrixexponential berechnen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Matrixexponential, Matrizenrechnung

maximal99 aktiv_icon

22:19 Uhr, 02.06.2015

Guten Abend!
Ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen:

1. Berechnen Sie

e^{t A}

für

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

.
2 Berechnen Sie

e^{t B}

für

B = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

.
3. Seien

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

und

C = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

.
Rechnen Sie nach, dass

A e^{C} \neq e^{C} A

und

e^{A + C} \neq e^{A} e^{C}

gilt.

Ich löse zum ersten Mal solche Aufgaben und bin mir deswegen bezüglich des Weges noch unsicher.
Bestimme ich zuerst die Eigenwerte der Matrizen. Bei A ist es ja schon in der Jordan-Normalform mit dem doppelten Eigenwert 0.

Würde mich über eine gewisse Anleitung freuen, vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

08:48 Uhr, 03.06.2015

Hallo,

"bin mir deswegen bezüglich des Weges noch unsicher"

Die Rechnungen sind ja nicht ganz kurz. Es gibt verschiedene technische Varianten. Warum gehst Du nicht einfach den Weg, den Ihr in Vorlesung oder Übung besprochen habt?

Gruß pwm

maximal99 aktiv_icon

09:49 Uhr, 03.06.2015

Weil es in der Vorlesung doch sehr unklar blieb..
Wir haben aber gesagt:

Es ist

x

eine Lösung von

x^{'} = A x,

genau dann wenn

y = T x

eine Lösung von

y^{'} = (T A T^{- 1}) y

ist.

und ein Fazit: Es genügt,

e^{t A}

für Matrizen in Jordan-Normalform zu berechnen.

Dies ist ein möglicher Weg, richtig? Über die Diagonalisierbarkeit bzw. Jordan-Normalform, falls die Matrix nicht diagonalisierbar ist.

Der andere Weg ist über die Definition der Reihe, vermute ich:

e^{t A} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{t^{k} A^{k}}{k!}

Nun ist bei der 1. ja die Matrix in Jordan-Normalform mit den Eigenwerten

0,

kann man das so einfach sagen? Für die Reihendarstellung gilt:

e^{t A} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + \frac{t^{2}}{2} (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ...

= (\begin{matrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix})

Ist dies schon die gesuchte Darstellung? Aber wäre dann der Weg auch korrekt, wenn ich sage dass

A^{k} = 0

für

k \geq 2

?

Zur

2 . :

Bei dieser Matrix kann man die Eigenwerte 0 und 2 berechnen und damit ist die Matrix auch diagonalisierbar.
Kann man direkt schließen:

e^{t B} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{2 t} \end{matrix})

pwmeyer aktiv_icon

10:24 Uhr, 03.06.2015

Hallo,

"Kann man direkt schließen:"

Nein, auf welcher Grundlage denn?

Wenn

B = T D T^{- 1}

(Diagonalisierung) dann habt Ihr vielleicht so etwas wie

exp

(t \cdot B) = T \cdot

exp(

t \cdot D) T^{- 1}

gezeigt. Das musst Du verwenden.

Die Antwort für 1. ist richtig.

Gruß pwm

maximal99 aktiv_icon

14:28 Uhr, 03.06.2015

Wir haben

e^{T A T^{- 1}} = T e^{A} T^{- 1}

. Ist dies dann äquivalent zu

e^{t A}

?

Dann würde ich es so machen:

B = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

mit

λ_{1} = 0

und

λ_{2} = 2

\to v_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

und

v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Definiere

T = (v_{1}, v_{2}) = (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

und

T

ist invertierbar, da

det T = - 2

.

Dann folgt

T^{- 1} = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix})

und:

T e^{A} T^{- 1} = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} e & e \\ e & e \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 0 & 0 \\ e & e \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 e \end{matrix})

Würde mich freuen, wenn irgendwo ein Fehler vorliegt, dass du mir zeigen könntest, wie es richtig "geht".

Richard23 aktiv_icon

13:51 Uhr, 05.06.2015

Deine Grundidee ist vom Ansatz her richtig, nur leider hast du sie falsch umgesetzt.
Allgemein gilt zunächst, wenn du eine Matrix

B

diagonalisieren kannst mit

B = T^{- 1} D T

, dann gilt

e^{B} = e^{T^{- 1} D T} = T^{- 1} e^{D} T

. Die letzte Gleichheit gilt, da

e^{T^{- 1} D T} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(T^{- 1} D T)^{k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{T^{- 1} D^{k} T}{k!} = T^{- 1} (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{D^{k}}{k!}) T = T^{- 1} e^{D} T

, denn

(T^{- 1} D T)^{2} = (T^{- 1} D T) (T^{- 1} D T) = T^{- 1} D T T^{- 1} D T = T^{- 1} D T

und ebenso für alle Exponenten größer 2, wie man sich leicht überlegen kann.
Möchte man nun

e^{t B}

muss man die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, was du richtig gemacht hast, aber dann musst du die Diagonalmatrix

D

bestimmen, damit du diese in

T^{- 1} e t^{D} T

einsetzen kannst und du genauso mit der Definition der Reihe weiter rechnen kannst, wie du es in deinem zweiten Beitrag mit der Matrix A gemacht hast. Wenn du dies gemacht hast, kannst du mir dein Ergebnis mal zeigen.

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