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Matrixexponentialfunktion bestimmen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

ray11 aktiv_icon

11:46 Uhr, 20.06.2019

Hi, ich habe etwas Problem bei einer Aufgabe, vielleicht kann mir jemand helfen.

Es sei

A = [(\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})] (

wie gibt man denn hier eine Matrix ein?)

a)

Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren der Matrix A

Das ging noch.

EW 1: EV

= (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

EW 2: EV

= (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

sollte passen.

b)

Berechnen Sie die Matrixexponentialfunktion zur Matrix A.

Wie haben das in mit der Definition gemacht:

e^{t \cdot A} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t^{n}}{n!} \cdot A^{n}

Dazu habe ich dann

A^{2}, A^{3},

usw berechnet, jedoch würde das immer so weiter gehen.
In dem Beispiel in der Vorlesung hatte sich diese Matrix dann ab

A^{5}

immer wiederholt und so konnte das in einer anderen Form dargestellt werden.
Hier weiß ich allerdings nicht wie das gehen soll.

c)

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems von Differentialgleichungen

x' = A \cdot x

.

Keine Ahnung wie das hier geht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:55 Uhr, 20.06.2019

Hallo,

wenn ich Deinen ersten EV

v

nenne, erhalte ich

A \cdot v = (1,1,2)

. Ich sehe nicht, wie dies ein Eigenvektor sein kann. Zu welchem Eigenwert?

Des weiteren brauchst Du eine Basis aus Eigenvektoren. Wenn es davon zuwenig gibt, dann eine Basis mit Hauptvektoren.

Die Berechnung der ExponentialMatrix erfolgt dann mit einer solchen Basis. Die Theorie dazu ist nicht ganz kurz. Außerdem gibt es Varianten in der technischen Umsetzung. Du wirst etwas darüber nachlesen müssen, am besten das verwenden, was Ihr in der Vorlesung besprochen habt.

Gruß pwm

HAL9000

15:47 Uhr, 20.06.2019

Wenn nicht gerade ein Angabefehler bei der Matrix oben vorliegt, dann lauten die Eigenwerte hier

λ_{1, 2} = 1 \pm \sqrt{2} i

sowie

λ_{3} = 2

. Damit liegt glücklicherweise Diagonalisierung vor (man muss sich also nicht durch Jordanform/Hauptvektoren quälen).

> Die Theorie dazu ist nicht ganz kurz.

Bei gelungener Diagonalisierung (wie hier) geht es noch:

A = T Λ T^{- 1}

ergibt dann

e^{t A} = T e^{t Λ} T^{- 1}

, und Matrix

e^{t Λ}

ist schlicht eine Diagonalmatrix, deren Diagonaleneinträge

e^{t λ_{k}}

für

k = 1, 2, 3

sind.

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