Matrixinversion

Wenn man das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise hinschreibt, steht da:

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-10\\ -5\end{array}\right)}$

Also in der Form:

${\displaystyle \left(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Also können wir den Vektor x mit Hilfe der invertierten Matrix bestimmen:

${\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{-1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Also invertieren wir das Ding mal (Einheitsmatrix rechts neben die Ursprungsmatrix schreiben und dann durch Zeilenumformungen links eine Einheitsmatrix erzeugen. Dann steht rechts die invertierte Matrix):

${\displaystyle \begin{array}{cc}2& -4\\ -3& 1\end{array}|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}}$

Die -4 oben muss weg, also untere Zeile mal 4 und zur oberen addieren:

${\displaystyle \begin{array}{cc}-10& 0\\ -3& 1\end{array}|\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}}$

Jetzt die -3 weg. Also oben mal -3, unten mal 10 und addieren:

${\displaystyle \begin{array}{cc}-10& 0\\ 0& 10\end{array}|\begin{array}{cc}1& 4\\ -3& -2\end{array}}$

Jetzt oben durch -10 und unten durch 10 dividieren:

${\displaystyle \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}|\begin{array}{cc}-\frac{1}{10}& -\frac{2}{5}\\ -\frac{\begin{array}{c}3\end{array}}{10}& -\frac{1}{5}\end{array}}$

Jetzt steht rechts die invertierte Matrix. Multiplikation mit dem Vektor b gibt das Ergebnis für x:

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{10}& -\frac{2}{5}\\ -\frac{3}{10}& -\frac{1}{5}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+2\\ 3+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)}$

Die Matrizenmultiplikation könntest Du auch mit dem Falke-Schema rechnen, das kannst Du in Formelsammlungen oder im Netz nachsehen.

Für diese zweidimensionale Aufgabe ist das Verfahren natürlich recht umständlich.