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Matrixprodukte und ähnliches

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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gopro

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21:58 Uhr, 14.04.2019

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Sei A ∈ R3,3 mit charakteristischem Polynom χA(λ) = det(A−λI) = λ^{3} −λ, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet.
a) Begründen Sie, warum A diagonalisierbar ist.
b) Geben Sie den Rang der Matrizen A,A2,A2+I und A2 −I an.
c) Bestimmen Sie alle r,s, t∈ R mit rI + sA + tA^2 =0.
d) Zeigen Sie, dass A404=A1988=A2 ist.
e) Geben Sie eine solche reelle Matrix A an.

Die a) habe ich bereits geöst, wobei die Eigenwerte der Matrix bei 0,1-,1 liegen und die Matrix diagonalisierbar ist.
Jetzt fällt es mir bei b)aber schwer, den Rang der angeforderten Matrizen zu berechnen, da diese ja nicht konkret gegeben ist...?

Vielen Dank für eure Antworten

Gopro
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michaL

michaL aktiv_icon

22:12 Uhr, 14.04.2019

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Hallo,

nun, der Rang von A ist 2.
Woran sehe ich das? Der Rang des Kerns ist offenbar 1 (weil A drei verschiedene Eigenwerte hat, von denen einer Null ist. Daher ist der Rang des Kerns 1.). Damit kann man den Rang der Matrix A berechnen über den Dimensionssatz[1].

Für die weiteren Ränge kannst du konkret A=(1000-10000) annehmen (das ist die darstellende Matrix bzgl. einer geeigneten Basis [aus EIgenvektoren]). Bzgl anderen Basen hätte A zwar ein anderes Aussehen, wäre aber ähnlich. Insbesondere der Rang bleibt bei Ähnlichkeit aber erhalten!
Sind Matrizen B und C ähnlich, so sind auch für jedes Polynom p die Matrizen p(B) und p(C) ähnlich. Deswegen kannst du mit der speziellen Darstellung von A arbeiten.

Mfg Michael

Links:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz
gopro

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08:38 Uhr, 15.04.2019

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Der Rang für A2+I ist ja ddann 3 und für A2-I=1, das müsste ich soweit hinbekommen haben.

bei der c) komme ich dann auf folgendes Gleichungssystem, wenn ich für I, A und A2 dann deine Vorschläge einsetze:

r+s+t=0
r-s+t=0
r=0

woraus folgt, dass alle drei Variablen =0 sind, kann das sein?

Viele Grüße Gopro
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

09:00 Uhr, 15.04.2019

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Hallo,

das wäre auch wieder ohne Wahl einer speziellen Basis gegangen.
Es gilt: χA(x)=x3-x. Das Minimalpolynom μA ist ein Teiler von χA, hat aber alle Nullstellen, die auch χA hat.
Folglich muss χA=μA gelten, was zur Folge hat, dass der kleinste Grad eines Annulatorpolynoms eben der des Minimalpolynoms ist, welcher - soeben nachgerechnet - drei sein muss.
Deswegen gibt es kein Polynom kleineren Grades (abgesehen vom Nullpolynom), dass A annuliert. Ergo erfüllen nur r=s=t=0 die Forderung!

Wenn ich Aufgabenteil e) so lese, fürchte ich, dass der Aufgabensteller für b) gerne einer andere Lösung hätte. Frag da mal nach, ob du so argumentieren darfst.

Mfg Michael
gopro

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21:26 Uhr, 15.04.2019

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Ich denke, dass so lange die Argumente schlüssig sind, jede Lösung akzeptiert wird, und wenn mit der b) direkt die e) gelöst ist, umso besser.

Die d) ist ja eigentlich logisch, da sich bei der konkreten Annahme der Matrix A diese sich ja nicht mehr ändert, wenn man sie immer wieder mit sich selbst quadriert, also gilt ja A2=A4=A6=...=A404=...=A1988

Gibt es hierfür noch einen generellen oder eleganteren Beleg?

Viele Grüße Gopro
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

22:08 Uhr, 15.04.2019

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Hallo,

Vorsicht, es gilt zwar A3=A (warum?), egal, welche Basis man für die Darstellung der entsprechenden Abbildung wählt, nicht aber A2=A (nachrechnen!).
Insbesondere also gilt: A4=AA3=AA=A2
Weiter folgt A6=A2A4=s.o.A2A2=A4=s.o.A2

Folglich (und das will aber durch eine saubere vollständige Induktion vernünftig aufgeschrieben sein!) gilt A2n+2=A2.

Soll heißen: Dass A2=A4=A6= gilt, ist zwar korrekt, ich fürchte aber einen falschen Grund deinerseits.

Mfg Michael
Frage beantwortet
gopro

gopro aktiv_icon

08:00 Uhr, 16.04.2019

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Super micha, die Begründung meinte ich eigentlich auch genau so wie du, hab mich wahrscheinlich nur etwas undeutlich ausgedrückt.

Viele Grüße Gopro