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Sei A ∈ mit charakteristischem Polynom χA(λ) = det(A−λI) = λ^3} −λ, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet. Begründen Sie, warum A diagonalisierbar ist. Geben Sie den Rang der Matrizen und −I an. Bestimmen Sie alle t∈ mit rI sA tA^2 . Zeigen Sie, dass ist. Geben Sie eine solche reelle Matrix A an. Die habe ich bereits geöst, wobei die Eigenwerte der Matrix bei liegen und die Matrix diagonalisierbar ist. Jetzt fällt es mir bei b)aber schwer, den Rang der angeforderten Matrizen zu berechnen, da diese ja nicht konkret gegeben ist...? Vielen Dank für eure Antworten Gopro |
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Hallo, nun, der Rang von ist 2. Woran sehe ich das? Der Rang des Kerns ist offenbar 1 (weil drei verschiedene Eigenwerte hat, von denen einer Null ist. Daher ist der Rang des Kerns 1.). Damit kann man den Rang der Matrix berechnen über den Dimensionssatz. Für die weiteren Ränge kannst du konkret annehmen (das ist die darstellende Matrix bzgl. einer geeigneten Basis [aus EIgenvektoren]). Bzgl anderen Basen hätte zwar ein anderes Aussehen, wäre aber ähnlich. Insbesondere der Rang bleibt bei Ähnlichkeit aber erhalten! Sind Matrizen und ähnlich, so sind auch für jedes Polynom die Matrizen und ähnlich. Deswegen kannst du mit der speziellen Darstellung von arbeiten. Mfg Michael Links: [1] de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz |
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Der Rang für ist ja ddann 3 und für das müsste ich soweit hinbekommen haben. bei der komme ich dann auf folgendes Gleichungssystem, wenn ich für I, A und dann deine Vorschläge einsetze: woraus folgt, dass alle drei Variablen sind, kann das sein? Viele Grüße Gopro |
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Hallo, das wäre auch wieder ohne Wahl einer speziellen Basis gegangen. Es gilt: . Das Minimalpolynom ist ein Teiler von , hat aber alle Nullstellen, die auch hat. Folglich muss gelten, was zur Folge hat, dass der kleinste Grad eines Annulatorpolynoms eben der des Minimalpolynoms ist, welcher - soeben nachgerechnet - drei sein muss. Deswegen gibt es kein Polynom kleineren Grades (abgesehen vom Nullpolynom), dass annuliert. Ergo erfüllen nur die Forderung! Wenn ich Aufgabenteil e) so lese, fürchte ich, dass der Aufgabensteller für b) gerne einer andere Lösung hätte. Frag da mal nach, ob du so argumentieren darfst. Mfg Michael |
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Ich denke, dass so lange die Argumente schlüssig sind, jede Lösung akzeptiert wird, und wenn mit der direkt die gelöst ist, umso besser. Die ist ja eigentlich logisch, da sich bei der konkreten Annahme der Matrix A diese sich ja nicht mehr ändert, wenn man sie immer wieder mit sich selbst quadriert, also gilt ja Gibt es hierfür noch einen generellen oder eleganteren Beleg? Viele Grüße Gopro |
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Hallo, Vorsicht, es gilt zwar (warum?), egal, welche Basis man für die Darstellung der entsprechenden Abbildung wählt, nicht aber (nachrechnen!). Insbesondere also gilt: Weiter folgt Folglich (und das will aber durch eine saubere vollständige Induktion vernünftig aufgeschrieben sein!) gilt . Soll heißen: Dass gilt, ist zwar korrekt, ich fürchte aber einen falschen Grund deinerseits. Mfg Michael |
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Super micha, die Begründung meinte ich eigentlich auch genau so wie du, hab mich wahrscheinlich nur etwas undeutlich ausgedrückt. Viele Grüße Gopro |