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Matrizen Ähnlichkeit beweisen

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Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Ähnliche Matrizen, Ähnlichkeit, dimension, Eigenwert, Matrizenrechnung

 
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KateB

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23:17 Uhr, 18.10.2018

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Guten Abend zusammen,
ich habe ein Übungsblatt bekommen und weiß leider nicht, wie ich die folgenden Sachen zeigen soll. Könntet ihr mir bitte dabei helfen?

Sei K ein Körper, n∈ℕ und seien A,B∈K(n,n).
Seien λ,μ∈K. Zeigen Sie:


a)
μ∈σ(A-λ⋅En)⇔μ+λ∈σ(A).


Verstehe ich es hier richtig, dass μ und λ in diesem Fall Eigenwerte sind?
Den linken Teil der Gleichung verstehe ich so: μ ist Element vom Spektrum der Eigenwerte zu A. Doch wie schließe ich daraus auf den rechten Teil?

b)A ist genau dann ähnlich zu B, wenn A-λEn ähnlich zu B-λEn ist.

Das sieht mir nach Determinantenberechnung für das charakteristische Polynom aus, auch wenn das Kürzel det nicht dabei steht.

In der Vorlesung hatten wir auch einen Beweis dafür, dass wenn A~B, dann chPol(A) =chPol(B). Das ist aber nicht die selbe Aussage wie in der Aufgabenstellung oder?


c) Wenn A ähnlich zu B ist, dann gilt dimK Ker(A- λEn)=dimk Ker(B- λEn).

Insbesondere haben also die Eigenräume zum gleichen Eigenwert λ die gleiche Dimension.


Ich wäre Euch für Lösungsvorschläge und -ansätze sehr dankbar.
Liebe Grüße
Kate

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Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

07:39 Uhr, 19.10.2018

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Hallo,

das ist doch recht naheliegend. Wenn es nur am Verständnis der Aufgabenstellung liegen sollte, so müssen wir uns darauf verlassen können, dass σ(A) das Spektrum der Matrix A sein soll. Da sind verschiedene Schreibweisen im Umlauf.

Tipps:
a) Zu Eigenwerten gehören Eigenvektoren! In dem Fall ändert er sich nicht. a) erledigt sich also durch eine korrekte Formalisierung (die ihr im Falle von Eigenvektoren/-werten sicher in der Vorlesung zuhauf verwendet habt) und die Anwendung des Distributivgesetzes.

b) Bei b) ändert sich konsequenterweise auch die Basis aus Eigenvektoren nicht, was dazu führt, dass die Umrechnungsmatrix von A zu B die gleiche ist wie bei A-λEn zu B-λEn.
Aso wieder ein Zweizeiler.

> In der Vorlesung hatten wir auch einen Beweis dafür, dass wenn A~B, dann chPol(A) =chPol(B). Das ist aber
> nicht die selbe Aussage wie in der Aufgabenstellung oder?

Ist sie nicht.

c) Tatsächlich (je nach Wissensstand) muss doch bei ähnlichen Matrizen insbesondere der Kern dieselbe Dimension haben. Es fällt leicht, mit Hilfe der Basiswechselmatrix einen Isomorphismus zwischen den entsprechenden Kernen anzugeben.

Mfg Michael
KateB

KateB aktiv_icon

00:23 Uhr, 20.10.2018

Antworten
Hallo Michael,
danke für Deine Antwort.

a) ok, ich verstehe Deine Aussage, allerdings nicht die Notation der Aufgabenstellung.
Inwiefern hängt μ mit σ(A-λEn) zusammen? Aus A-λEn berechne ich ja den EV zu λ, wie hängt da μ mit drin?

b) für alle S in GL(n,K) gilt:
λEn=λ(S⋅En⋅S-1)=Sλ(En⋅S-1)=SλEn⋅S-1.
Nun: B=SAS-1 gilt
B-λEn=SAS-1-SλEn⋅S-1=S(A-λEn)⋅S-1.



c) Leider kann ich mir dazu nichts denken. Die Aussage klingt logisch.
Wenn A und B ähnlich sind, haben beide die gleichen Eigenwerte. Da beides quadratische nxn Matrizen sind, wird auch die Dimension des Kerns gleich sein, da ja die Eigenwerte gleich sind. Das könnte ich mir als Ansatz vorstellen, allerdings fehlt da auf jeden Fall noch einiges.


Würdest Du mir da bitte weiter helfen?
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