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Matrizen, Darstellungsmatrix und Basiswechsel

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Matrizenrechnung

Marvin1902 aktiv_icon

14:23 Uhr, 26.06.2019

Hallo liebe Community,

ich bin Mathematik-Student und im 1. Semester. Ich lag nun aber leider mehrere Wocheen aus gesundheitlichen Gründen im Krankenhaus aber das tut erstmal nichts zur Sache. Ich habe sehr viel verpasst und versuche mir gerade die Skripte und Aufgaben selber zu erarbeiten. Ich muss für meine Klausurzulassung eine gewisse Anzahl an Punkten erarbeiten und Aufgaben vorstellen. Auch wenn es nicht meine Art ist um so etwas zu bitten, bräuchte ich dringend Hilfe bei 2 Aufgaben. Es geht zum einen um vollständige Induktion und unter anderem um Basiswechsel. Ich brauche diese beiden Aufgaben bis morgen früh und komme auf keine Lösung, bzw. kann mir die Lösung nicht herleiten. Wenn jemand mir diese Aufgaben mit Erklärung lösen und somit auch verständlich erklären könnte, wäre ich sehr dankbar. Ich bin aber über jede kleine Hilfe
glücklich.

Danke für Eure Zeit :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:58 Uhr, 26.06.2019

Hallo,
was hindert dich daran, bei Aufgabe 1 die ersten Potenzen

A, A^{2}, A^{3}, A^{4}, \dots

und

B, B^{2}, B^{3}, B^{4}, \dots

zu berechnen und daraus eine Vermutung für eine
Formel für

A^{n}

bzw.

B^{n}

zu gewinnen?
Das Denken und Experimentieren wollen wir dir nicht abnehmen ...
Also: was vermutest du?
Gruß ermanus

Marvin1902 aktiv_icon

15:26 Uhr, 26.06.2019

Hallo, das habe ich bereits gemacht:

A^{2} =

100

210

321

A^{3} =

100

310

631

A^{4} =

100

410

1041

Ich erkenne , dass Die Spur der Matrix immer 1 ist und die erste Zeile immer gleich ist, aber welches Mathematische Muster ich mit Induktion beweisen soll und wie das dann geht... keine Ahnung

ermanus aktiv_icon

15:33 Uhr, 26.06.2019

Naja,
soweit solltest du es ja wohl erkannt haben,
dass

A^{n} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ ? & n & 1 \end{array})

ist.
Nun denke über das "?" nach. Nicht einfach sagen "sehe kein Muster",
sondern weiterforschen ...
Gruß ermanus

michaL aktiv_icon

15:33 Uhr, 26.06.2019

Hallo,

gelöscht. S. vorherigen Post!

Mfg Michael

Marvin1902 aktiv_icon

15:46 Uhr, 26.06.2019

Ich sehe nur, dass das Element in

a_{31}

immer aus der Addition des aus einer beliebigen Matrix kommenen Element

a_{31}

mit der darauffolgenden Potenzierung entsteht.

a_{31}

aus

A^{2} = 3

a_{31}

aus

A^{3} = 3 + 3 = 6

a_{31}

aus

A^{4} = 6 + 4 = 10

ermanus aktiv_icon

15:54 Uhr, 26.06.2019

OK. Das ist doch schon mal gut.
Also ist die Folge der

a_{31}

1, 3, 6, 10, 15, 21, \dots

oder

1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, \dots

,
also

a_{31}

A^{n}

ist

\sum_{i = 1}^{n} i

.
Angeblich hat Gauss schon als Grundschüler hierfür eine geschlossene Formel
gefunden ...
Gruß ermanus

Marvin1902 aktiv_icon

16:04 Uhr, 26.06.2019

Ok gut ich habe zwar verstanden wie sich das zusammensetzt, jedoch kein Plan wie ich die Induktion machen soll, wir hatten Induktion einmal gemacht und mussten bis heute auf keinem Blatt nochmal einen führen....

Meine Behauptung wäre ja, dass

A^{n} =

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \sum n & n & 1 \end{matrix})

Ich weiß ja, dass die Aussage für

A (1)

richtig ist.

Aber wie genau geht es weiter.. Ich habe ja meine Behauptung aufgestellt und bei allen Beispielen hat es ja geklappt... Was muss ich jetzt machen / kannst du mir den Anfang der nächsten Rechnung zeigen

ermanus aktiv_icon

16:19 Uhr, 26.06.2019

Du möchtest den Induktionsschritt von

n

auf

n + 1

machen.
Sei also für ein

n \in ℕ, n > 0

bereits gezeigt, dass

A^{n} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \sum_{i = 1}^{n} i & n & 1 \end{array})

.
Dann ist

A^{n + 1} = A^{n} A = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \sum_{i = 1}^{n} i & n & 1 \end{array}) (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ n + 1 & 1 & 0 \\ \sum_{i = 1}^{n} i + (n + 1) & n + 1 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ n + 1 & 1 & 0 \\ \sum_{i = 1}^{n + 1} i & n + 1 & 1 \end{array})

.
Damit ist der Induktionsschritt bewiesen. Zum Schluss kann man dann (gemäß Gauss)
noch schreiben

A^{n} = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \frac{n (n + 1)}{2} & n & 1 \end{array})

.
So und nun bist du mit

B

dran ;-)

Marvin1902 aktiv_icon

16:20 Uhr, 26.06.2019

Und für

b)

B = (\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix})

B^{2} = (\begin{matrix} 5 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{matrix})

B^{3} = (\begin{matrix} 6 & 9 & 12 \\ 9 & 12 & 6 \\ 12 & 6 & 9 \end{matrix})

Die Summe in den Zeilen und Spalten entspricht dort immer

3^{n}

aber wie genau kann ich da gerade ne Matrixvorschrift rauskriegen

ermanus aktiv_icon

16:22 Uhr, 26.06.2019

\overline{5} = \overline{2}

und

\overline{3} = \overline{0}

F_{3}

Marvin1902 aktiv_icon

16:32 Uhr, 26.06.2019

Also

B^{2} =

222

222

B^{3} =

000

000

000

B^{4}

222

222

222

B^{5}

000

000

Sprich für

B^{n} : n

gerade und

> 1

ist

B^{n}

222

222

222

und für

B^{n} : n

ungerade und größer 1 ist

B^{n}

000

000

000

Marvin1902 aktiv_icon

16:33 Uhr, 26.06.2019

Ich habe ausversehen manchmal eine Zeile vergessen

ermanus aktiv_icon

16:48 Uhr, 26.06.2019

Oh, es ist noch einfacher:

B^{4} = B^{3} \cdot B = 0 \cdot B = 0

, wobei ich mit

0

die Nullmatrix meine.,
also

B^{n} = 0

für alle

n \geq 3

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