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Matrizen Grenzverteilung - wo ist der Fehler?

Schüler

Tags: Grenzmatrix, Matrix, Übergangsmatritzen

Leon123 aktiv_icon

18:00 Uhr, 26.01.2014

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe: Das Restaurant La File verliert monatlich

30 %

der Stammkunden an das Restaurant McHunger,

70 %

der Kunden bleiben. Umgekehrt verliert McHunger

20 %

an LaFille,

80 %

bleiben. Am Anfang hat LaFille

60

Stammgäste, McHunger

40

(das ist der Startvektor). Welche Aufteilung ergibt sich langfristig?

Grundsätzlich ist mir die Strategie zur Lösung der Aufgabe klar. Die Übergangsmatrix lautet:

0,7

0,2

0,3

0,8

Diese Matrix muss ich ja jetzt mit einem Vektor

x

multiplizieren, und als Ergebnis muss wieder der selbe Vektor

x

sein. Dabei komme ich auf folgendes Gleichungssystem:

- 0,3 x + 0,2 y = 0

0,3 x - 0,2 y = 0

x + y = 1

Die letzte Gleichung ergibt sich ja aus der Tatsache, dass das Ergebnis - wegen der stochastischen Bedingung

- 1

sein muss.

Wenn ich das System nun aber löse, erhalte ich als Lösungen

x = 0,4

und

y = 0,6,

was aber falsch ist (Überprüfung Fixvektor stimmt nicht!)

Ich weiß partout nicht, wo mein Fehler ist. Ist der Fehler im Ansatz, oder ist der Ansatz richtig und es ist einfach ein Rechenfehler?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Werner-Salomon aktiv_icon

22:58 Uhr, 26.01.2014

Hallo Leon,

bei der Aufgabe handelt es sich um ein sogenanntes 'Eigenwertproblem'. Es ist ein Vektor (bzw. Zustand) gesucht, der multipliziert mit der Übergangsmatrix wieder sich selbst ergibt. Das nennt man den Eigenvektor.

Folglich ist Dein Ansatz falsch. Es muss richtig heißen:

(\begin{array}{rcl} 0, 7 & 0, 2 \\ 0, 3 & 0, 8 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array})

oder umgeformt:

(\begin{array}{rcl} 0, 7 - 1 & 0, 2 \\ 0, 3 & 0, 8 - 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \end{array})

damit das eine nicht triviale Lösung ergibt, muss die Determinante der Matrix

= 0

sein. Das ist hier der Fall.
Aus der ersten Zeile des Gleichungssystem ergibt sich

x = \frac{2}{3} y

und aus der Bedingung, dass die Summe =100 sein muss, folgt dann

(\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 40 \\ 60 \end{array})

Diese dritte Bedingung ergibt sich implizit, wenn Du die beiden Gleichungen addierst. Es ist auch nicht so, dass die Summe

= 1

sein muss, sie muss in diesem Fall nur konstant*) sein - hier =100. Sollte die Summe nicht gegeben sein, so spielt das auch keine Rolle. Es reicht, sie als konstant anzusetzen. Dann erhält man eine Schar von Eigenvektoren, die das Vielfache eines Basisvektors sind.

Hier wäre das:

(\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array}) = f \cdot (\begin{array}{rcl} 2 \\ 3 \end{array})

f

ist dann ein beliebiger Faktor. Im obigen speziellen Fall ist

f = 20

.

siehe auch de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem

Gruß
Werner

*) im allgemeinen Fall nicht einmal das. Aber dazu lies Dir den Wikipedia-Artikel genau durch.

Matlog aktiv_icon

00:57 Uhr, 27.01.2014

Ich denke, Leon123 hat alles richtig gemacht!
Warum sollte die Überprüfung des Fixvektors nicht stimmen?
Da die Stammkundenzahl von

100

bekannt ist, wäre die Angabe der Aufteilung in

40

60

besser als die Anteile

0,4

und

0,6

Werner-Salomon aktiv_icon

22:44 Uhr, 27.01.2014

Hallo Matlog,

Du hast Recht, ich hatte übersehen, dass Leon123 bereits die Subtraktion der Einheitsmatrix an der Übergangsmatrix durchgeführt hatte.

Bleibt noch die Frage: wie kommt Leon darauf, dass sein Ergebnis falsch ist?

Gruß
Werner

aleph-math aktiv_icon

19:12 Uhr, 28.01.2014

Hallo Kollegen!

"Leon.."s Ansatz ist richtig, unter d. Bedingung, daß d. Prozentangaben auf d. Stand zu Ultimo bezogen sind. Er hat dann nur *Anteile* mit *Beträgen* verwechselt:
File=x*(File+Hunger)=0.4*100=40;
Hunger=y*Summe=0,6*100=60 .
D. Gästestamm verkehrt sich also, ein Hoch auf's Fast Food (brrr)..

Was ich zu bedenken gebe, ist:
1) Ultimo%. D. Wechsel hin+her geschieht doch tägl., sollte man dann nicht d. tägl. Stand zu Grunde legen, der sich u.U. ändert? Bei konst.% käme dann sowas wie d. Zinseszins zum Tragen u. bei veränd.% wird's überhpt kompliziert... :(

2) Auf was sind d. Prozente bezogen? Auf d. Stand VOR d. Wechsel o. NACH diesem? In Zahlen:
Seien A, B d. akt. Stand (Ultimo o. tägl.), A', B' d. Eingangstand (also 60 bzw 40). Gilt dann:

A = A ʹ - 0, 3 A ʹ + 0.2 B ʹ = 0, 7 * 60 + 0, 2 * 40 = 50;

B = B ʹ - 0, 2 B ʹ + 0.3 A ʹ = 0, 8 * 40 + 0, 3 * 60 = 50;

oder

A = A ʹ - 0, 3 A + 0.2 B = > 1, 3 A - 0, 2 B = A ʹ

= > 1, 3 A = A ʹ + 0, 2 (100 - A) = > A = 80 / 1, 5 = 53, 3 \approx 53; u .

B = B ʹ - 0, 2 B + 0.3 A = > 1, 2 B - 0, 3 A = B ʹ

= > 1, 2 B = B ʹ + 0, 3 (100 - B) = > B = 70 / 1, 5 = 46, 7 \approx 47 ?

Da ergibt sich d. gl. Frage: Ist d. Ansatz falsch o. d. Rechng.?

Viel Vergnügen & Danke sehr! -GA

** Edit: Format & tw. Zahlen geändert..

aleph-math aktiv_icon

00:10 Uhr, 29.01.2014

Ergänzung:

So weit ich mich erinner', heißt es schon in d. Aufg. "wie ist d. langfrist.(!) Aufteilg.?" Langfristig ist 1 Monat wohl nicht, da müßte es schon weitergehen, ich seh aber im Orig.ansatz keine Mögl. zur Iteration, da d. Anfangstand nicht eingeht.. o. ist d. Eigenvektor schon d. Ende u. ggf. warum?

Ich will nicht rechthaberisch sein, aber mein Ansatz

A_{n + 1} = 0, 7 A_{n} + 0, 2 B_{n} = 0, 7 A_{n} + 0, 2 (100 - A_{n}) = 0, 5 A_{n} + 20;

böte diese Iteration.

a) % bezogen auf d. Startwert. Reihenentw. des ob. Ansatz liefert:

A_{n} = 20 \sum_{k = 0}^{n - 1} 0, 5^{k} + A_{0} 0, 5^{n} = 20 \frac{1 - 0, 5^{n}}{1 - 0, 5} + A_{0} 0, 5^{n} = (40 (2^{n} - 1) + 60) 2^{- n};

1 J. ist schon einigerm. langfristig; schaun wir also auf d. Jahresbilanz:

A_{12} = (40 (2^{12} - 1) + 60) 2^{- 12} = 40, 0049 \approx 40

; Fehler

ε = 5 \cdot 1 0^{- 3}

.
Für nat. Zahlen ist das schon sehr gut, eigt. ausreichend; wer unbedingt will, kann es aber verbessern. Nach 2 J. beträgt

A_{24} \approx 40

; Fehler

ε = 1 \cdot 1 0^{- 6}

. Das reicht nun wirklich, selbst f. reelle Zahlen.

Was mich etwas überrascht, ist d. Ergeb., das gleich d. Ergeb. aus d. Eigenv.-Methode ist. D. Iteration kommt mir "straight fwd" vor, dh. naheliegend, aber d. Eigen-Meth. scheint schneller & mehr "sophisticated" zu sein (das kann Vorteil o. Nachteil sein.. ;-)

Teil b) mit d. % auf akt. Stand bezogen folgt..

Bin gespannt, wer mich aufklären will ... -GA

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