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Matrizen, Permutation, Gruppe

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Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

harold aktiv_icon

11:27 Uhr, 13.12.2009

einen Guten Morgen wünsche ich!

Könnt ihr mir eventuell hier weiterhelfen...

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sei

n

eine natürliche Zahl. Sei

K

ein Körper.
Sei

E_{n}

M (n; K)

die (nxn) Einheitsmatrix, deren Spalten die kanonischen Einheitsvektoren

e_{1}, ..., e_{n}

K^{n}

sind.

Für

σ

S_{n}

sei

M_{σ} := (e_{σ (1)}, ... ., e_{σ (n)})

die Matrix mit den Spalten

e_{σ (1)}, ... ., e_{σ (n)} (\in

dieser Reihenfolge).

Zeigen Sie:
Die Matrizen

M_{σ}

mit

σ

S_{n}

bilden bei der Multiplikation eine Gruppe.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Also

S_{n}

ist die Menge aller Permutationen.
Die Aufgabe besagt doch dass bei der Matrix

M_{σ}

sich einfach die Reihenfolge der Spalten der Matrix vertauschen oder? So verstehe ich es zumindest.

Kriterien für eine Gruppe bzgl der Multiplikation sind
1. (gh)k)=g(hk)

\forall g, h, k

G

2. Es gibt ein neutrales Element 1 mit

1 \cdot g = g \cdot 1 = g

für alle

g

el G.
3. Zu jedem

g

G

gibt es ein

g^{- 1}

G

mit

g^{- 1} \cdot g = 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

11:29 Uhr, 13.12.2009

Zeige

M_{σ τ} = M_{σ} M_{τ}

harold aktiv_icon

16:09 Uhr, 13.12.2009

M_{τ}

ist dann quasi auch einfach eine Matrix wie

M_{σ}

also:

M_{τ} := (e_{τ (1)}, ... ., e_{τ (n)})

.
dann zeige ich

= M_{τ σ} = (e_{σ (1)}, ... ., e_{σ (n)}) \cdot (e_{τ (1)}, ... ., e_{τ (n)})

?

aber wie sieht

M_{τ σ}

genau aus? kann ich mir nicht genau vorstellen...

(e_{σ (1) \cdot τ (1)}, ... ., e_{σ (n) \cdot τ (n)})

irgendwie so?

Wie zeige ich dann dass siese gleich sind? Hat man so schon eine Gruppe bewiesen? zeigt man nicht noch

\exists

neutrales Element, Inverses und die Assoziativität?

vielen dank aber schonmal für deine antwort.

michaL aktiv_icon

17:43 Uhr, 13.12.2009

Hallo Torben,

vielleicht hilft es dir, mal darüber nachzudenken, wie man die Matrix

M_{σ}

Matrix mit Zeilenvektoren schreiben kann.
Dazu würde ich ganz konkret die Dimension z.b. 4 wählen, mir dann so ein ganz konkretes

σ \in S_{4}

suchen, aufschreiben und schließlich überlegen, wie ich diese als Matrix von Zeilenvektoren schreiben kann.

Mfg Michael

harold aktiv_icon

19:03 Uhr, 13.12.2009

Ich muss ganz ehrlich sagen dass ich noch nicht so ein tiefes Verständnis hierfür habe.
besteht die Matrix

M_{σ}

auch aus den Einheitsvektoren nur in anderer Reihenfolge?

also

z . b

. so dür Dimension=4:

M_{σ} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

denkt man sich

z . b

σ

wäre folgende Permutation

(2, 1, 3

4)

so habe ich mir die Permutation oben jetzt gedachte.

Angenommen, da habe ich dich richtig verstanden, dann weiß ich trotzdem nicht wie man so eine Matrix als Zeilenvektor schreiben kann.

viele grüße

hagman aktiv_icon

19:25 Uhr, 13.12.2009

Mein Tipp ging in folgende Richtung:
Wenn wie in deinem

σ = (2,1,3,4)

ist, nimm noch ein

τ \in S_{4}

dazu, beispielsweise

τ = (1,4)

.
Dann ist

σ τ = (2,1) (3,4)

.
Schreibe

M_{σ}, M_{τ}

und

M_{σ τ}

hin. Zusätzlich berechne das Matrizenprodukt

M_{σ} M_{τ}

. Es sollte

M_{σ τ}

herasukommen.
Warum gilt das allgemein und nicht nur in diesem Beispiel?

harold aktiv_icon

20:42 Uhr, 13.12.2009

Ich glaube dir dass das Matrizenproduekt dann hinkommen müsste aber irgendwas mach ich wohl falsch:-).

also σ=(2,1,3,4) ; τ=(1,4); στ=(2,1)(3,4).

M_{σ} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})

M_{τ} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

M_{σ τ} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

wenn ich allerdings

M_{σ} \cdot M_{τ}

rechne. Also erste zeile

M_{σ}

mal 1 spalte

M_{τ}

passt erhalt ich die 0 oben links. rechne ich aber schon 1 Zeile

M_{σ}

mal 2 spalte

M_{τ}

so erhalte ich nicht die 1 die in

M_{σ τ} 1

Zeile 2-ter Wert=1 stehen müsste. Weil

0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0

.

NICHTSDESTOTROTZ ist dies wahrscheinlich sowieso nur ein dummer flüchtigkeitsfehler von mir! warum kann man nun aus einem Beispiel auf den Allgemeinfall schließen. Das ist mir nicht klar wie ich das begründen kann.

lg

michaL aktiv_icon

00:39 Uhr, 14.12.2009

Hallo Torben,

also, mein Tipp, mal am Beispiel zu gucken, soll dir helfen herauszufinden, was da eigentlich los ist. Ich finde das von dir gewählte Beispiel gut, hatte tatsächlich 1:1 das gleiche gewählt.

Warum ist es wichtig, eine Schreibweise für die Matrizen

M_{σ}

in Zeilenvektorform zu finden? Wegen der Tatsache, dass für den Nachweis einer Gruppe zwei Matrizen der obigen Form multipliziert werden müssen. Dazu ist es hilfreich (wenn auch sicher nicht unabdingbar), wenn man die linke der Matrizen als Vektor von Zeilenvektoren schreiben kann, da man bei der Matrixmultiplikation ja Zeile x Spalte rechnet.
Bei deiner Matrix

M_{σ}

könnte man sagen, dass sie als Spaltenvektor folgender Einheitszeilenvektoren geschrieben werden kann:

e_{2}

e_{4}

e_{1}

und

e_{3}

.

Also gibt es für jede Matrix

M_{σ}

mit

σ \in S_{n}

eine Abbildung

τ \in S_{n}

, sodass

M_{σ} = M ʹ_{τ}

gilt, wobei der Haken andeuten soll, dass die Matrix aus EinheitsZEILENvektoren aufgebaut ist.

Erkennst du den Zusammenhang zwischen

σ

und

τ

? Er sollte klar werden, wenn du mal

M_{σ}^{2} = M ʹ_{τ} \cdot M_{σ}

berechnest.
Diese Erkenntnis muss man erst machen, sonst wird das weitere Formalisieren nicht einfacher. Wenn man das mal hat, dann kannst du für beliebige

σ, τ \in S_{n}

das Produkt

M_{σ} M_{τ}

bestimmen und zeigen, dass es von der Form

M_{ρ}

für ein

ρ \in S_{n}

ist.
Hagen wollte dir mitgeben, dass

ρ = σ \circ τ

ist (nehme ich jedenfalls an, ich habe mal gelernt, dass man unter

σ \cdot τ

eben

τ \circ σ

zu verstehen hat).

Warum ist dies denn so wichtig?
Eigentlich trägt die Menge der invertierbaren Matrizen doch eine Gruppenstruktur, d.h. die eigentlichen Gruppenaxiome musst du nicht mehr prüfen. Das wichtige ist, dass man durch Multiplikation zweier Elemente von

E_{n}

die Menge nicht verlässt, d.h. die Menge

E_{n}

abgeschlossen gegen "

\cdot

" ist.

Wenn bis hier Fragen sind, dann merk das noch mal an. Wenn das alles klar war, dann beschreib doch noch mal, wo du hängst.

Mfg Michael

harold aktiv_icon

16:07 Uhr, 14.12.2009

ich bin mir nicht sicher ob ich dich richtig verstanden habe.

M_{σ} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})

meinst du mit M_tau´

= (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

nur dass die Matrix die Einheitszeilenvektoren sind? Also ich cshreibe die erste spalte von

M_{σ}

als erste zeile von M_tau´. Was mich dabei verwundert dann hat

M_{τ}

ja nichts mehr mit unserem oben gewählen

τ (1,4)

zu tun.

bei der Multiplikation M_sigma*M_tau´ würde man dann

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

erhalten. Also die einheitsmatrix.

michaL aktiv_icon

17:14 Uhr, 14.12.2009

Hallo Torben,

nein, ich meine bei deiner Matrix

M_{σ}

, das die erste Zeile als Vektor der

e_{3}

ist.

Wenn ich nun

M_{σ}

mit einer Matrix

M_{τ}

von rechts multipliziere, sind die Ergebnisse der ersten Zeile:

e_{3} * e_{τ (1)}

e_{3} * e_{τ (2)}

, usw.

Mfg Michael

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