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Matrizen im Zusammenhang mit Möbiustransformatione

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen, Möbiustransformation

sr40413 aktiv_icon

22:43 Uhr, 20.07.2014

Hallo liebe Foren-Mitglider,

Ich bin absoluter Forumsneuling und ich hätte direkt mal eine Frage.
Ich schreibe am Freitag die MMC II Klausur und ich habe in einer Altklausur eine Frage gefunden, die mir ein wenig Bauchschmerzen bereitet.
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Der Matrix

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

mit ad-bc ungleich 0 lässt sich eine Funktion

f (z) = \frac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}

zuordnen

(z

sind komplexe Zahlen).

a)

Bestimmen sie die jeweiligen

a, b, c

und

d

mit zugehörigen Matrizen für folgende Transformationen

\frac{1}{z} = \frac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}

mit Matrix

A 1, z = \frac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}

mit Matrix

A 2

.

Mein Ansatz hierzu:

A 1

entspricht der Matrix

A 1 = (\begin{matrix} 0,1 \\ 1,0 \end{matrix})

also und

A 2

der Matrix

A 2 = (\begin{matrix} 1,0 \\ 0,1 \end{matrix})

. Wenn man die Matrizen mit

z

multipliziert erhält man wie gefordert die Funktionen

\frac{1}{z}

und

z

.

Nun das eigentliche Problem:

b)

Zeigen Sie, dass die Matrix

A 1 \cdot A 2

gleich der Matrix A ist, die der Transformation

1 = \frac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}

entspricht.

Bei Möbiustransformationen entspricht

A 1 \cdot A 2

meines Wissens nach einer Verkettung von

A 1

und

A 2

und beschreibt die Nacheinanderausführung der Transformationen.
Das Matrizenprodukt von

A 1 \cdot A 2

enstpricht jedoch nicht der Transformation mit dem Ergebnis

= 1,

sondern es ergibt sich wieder die Matrix

A 1

und die ergibt, angewendet auf

z

wieder die Transformation

\frac{1}{z}

(wie oben)...

Wo liegt der Denkfehler?

: (

Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Schon mal ein freundliches Danke an alle im Voraus
Gruß sr40413

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

23:25 Uhr, 20.07.2014

Ich kann keinen Fehler entdecken. Ich sehe das genauso:

A_{1} 〈 z 〉 = \frac{1}{z} \Leftarrow A_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

A_{2} 〈 z 〉 = z \Leftarrow A_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Und

A_{1} \cdot A_{2} = A_{1}

passt auch, da

A_{1} 〈 A_{2} 〈 z 〉 〉 = \frac{1}{z} = A_{1} 〈 z 〉

gilt.

Ich denke, da hat der Aufgabensteller geschlafen und Multiplikation

A_{1} 〈 z 〉 \cdot A_{2} 〈 z 〉 = \frac{1}{z} \cdot z = 1

mit Hintereinanderausführung

A_{1} 〈 A_{2} 〈 z 〉 〉 = \frac{1}{z} = A_{1} 〈 z 〉

verwechselt.

Kleiner Zusatz:
Im Grunde kann man natürlich auch

A_{1} = (\begin{matrix} 0 & k_{1} \\ k_{1} & 0 \end{matrix})

A_{2} = (\begin{matrix} k_{2} & 0 \\ 0 & k_{2} \end{matrix})

für

k_{1}, k_{2} \neq 0

wählen.
Das ändert aber auch nichts an

A_{1} 〈 A_{2} 〈 z 〉 〉 = A_{1} 〈 z 〉 = \frac{1}{z} \neq 1

sr40413 aktiv_icon

23:44 Uhr, 20.07.2014

Alles klar:-)
Danke für die schnelle Antwort. Wenigstens weiß ich jetzt, dass ich nicht zu Unrecht lange über den Sinn der Teilaufgabe b)gegrübelt habe. Zumal auch meine Kommilitonen keine wirkliche Erklärung wussten.

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