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Matrizen invertieren
Schüler Realschule, 9. Klassenstufe
Tags: Inverte, Invertieren, Matrix, matriz
 
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Ich wünsche einen guten Morgen! :-) Seit einiger Zeit beschäftige ich mich mit der Analytischen Geometrie. Dabei war es nicht immer einfach im Internet Literatur darüber zu finden welche ich mit meinen zarten Alter von 16 Jahren gut nachvollziehen kann. Vieles ist (wie ich immer gerne sage) in „Mathehochdeutsch“ geschrieben. Viel zu viele Formeln und viel zu wenig verständlich erklärt. ^^ Nun, deshalb führt mich mein Weg Heute zu euch. Ich erhoffe mir Antworten auf einige Fragen welche ich mir selber nicht durch Onkel Google beantworten konnte. Konkret geht es um Matrizen. Dazu habe ich schon einiges Erfahren (z.B. In Verbindung von Vektoren oder Gleichungssystemen) und weiß auch schon wie mit Ihnen gerechnet wird. Jedoch stoße ich bei den Begriffen „Determinante“, „Adjunkte“ und „Matrixinversion“ auf Widerstand. Im Prinzip will ich nur wissen wie man eine Matrix nun invertiert. Aus diversen Quellen habe ich eigentlich nur ein paar Formeln gefunden, jedoch kaum eine verständliche (ich nenne es jetzt mal so) Anleitung wie nun eine Matrix invertiert wird. Mit dieser Frage bin ich dann auf die beiden Begriffe „Determinante“ und „Adjunkte“ gestoßen. Nach weiteren googeln habe ich dann zwei beinahe brauchbare Formeln gefunden: Okay, wenn ich also die Matrix mit seiner invertierten Version multipliziere, so erhalte ich die Identitätsmatrix oder auch Einheitsmatrix. Also hatte ich versucht von der Einheitsmatrix die Matrix zu dividieren und hatte erhofft dadurch die invertierte Matrix zu erhalten. Jedoch hatte das so nicht funktioniert. Also blieb mir keine andere Wahl als zuerst die Adjunkte und danach die Determinante der Matrix zu rechnen. Kein Problem, dachte ich... Ich hatte also nochmal meinen besten Freund Google angeworfen und habe sogleich nach „Determinante“ gesucht. Dazu habe ich tatsächlich noch mehr gefunden. Jedoch konnte ich im Endeffekt nur 2 Formeln finden um die Determinante einer 2x2 oder 3x3 Matrix zu berechnen. Auf Wikipedia stand auch, dass dies nur auf quadratische (als n*n Elemente) Matrix möglich sei. So zumindest habe ich das verstanden. Aber die obere Formel hat mich ein wenig stutzig gemacht. Eine Matrix mit beliebigen Spalten sowie Zeilen (n*m) kann invertiert werden. Demnach ist es also logisch (nach der oberen Formel) dass auch von einer Matrix von n*m Elementen die Determinante berechnet werden kann. Zur Adjunkte konnte ich leider noch nichts brauchbares aus dem „Mathehochdeutsch“ geschwafel ablesen. Ich verstehe aus diesen Formeln kein Stück. Es fällt mir schwer da überhaupt was raus zu verstehen. Selbst die Wikipedia Artikel sind mir noch zu hoch. Daher bitte ich um einfache nachvollziehbare Antworten auf folgende Fragen: 1. Wie wurden die Formeln zum Berechnen der Determinante einer 2x2 bzw. 3x3 Matrix abgeleitet? 2. Lässt sich die Determinante wirklich von jeder Matrix berechnen (so wie ich annehme)? 3. Wenn ja: Wie leite ich mir hier die passenden Formeln ab? 4. Was ist eine „Adjunkte“ Matrix und wie wird diese aus einer Matrix berechnet? 5. Gibt es alternative Wege um die invertierte Matrix zu berechnen? 6. Ist es möglich auch 2 Matrizen zu dividieren? Bisher habe ich in diversen Literaturen nichts darüber ansatzweise gesehen. Es war lediglich die Rede von einer Matrix und einer Skalar. Ich hoffe ich verlange hier nicht zu viel. Ich bin willig zu lernen, aber das funktioniert natürlich schlecht wenn man aus den gefundenen Erklärungen im Netz kein Wort versteht. Ich hoffe dass meine Fragen hier beantwortet werden können. LG. Make :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, Dein Eifer ist aller Ehren wert, aber was Du irgendwie zu vernachlässigen scheinst, sind die Definitionen! Da steht in den Definitionen sowohl bei "Determinante" als auch bei "Inverse Matrix", dass es um quadratische Matrizen geht! Sich weiterführende Gedanken im Sinne eines erweiterten Matrizenbegriffs (alle Matrizen werden quadratisch, indem man "fehlende" Zeilen oder Spalten mit Nullzeilen bzw. -spalten ergänzt) zu machen, ist da sicher erst (wenn überhaupt) der übernächste Schritt! Was die Determinanten angeht, da findest Du zwei einfache Formeln zur direkten Berechnung von und Matrizen. Für größere Matrizen gibt es den Entwicklungssatz oder das Gausssche-Eliminationsverfahren, beides im übrigen ganz einfach in wikipedia zu finden, wenn man dort sucht! Und wenn man dort unter Adjunkte nachschaut, erkennt man (nachdem man den Entwicklungssatz verstanden hat), dass diese auf dem Entwicklungssatz basiert. Das Verfahren der Inversenberechnung über Adjunkte ist allerdings auch maximal bis zur Größe oder praktikabel zum händischen Rechnen, wenn die Matrix in genügend Zeilen und Spalten nur 1 oder maximal 2 Elementen enthält, also "dünn besetzt" ist. Für größere Matrizen würde ich das erweiterte Gauss-Jordan-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme anwenden, welchse in wikipedia auch sehr anschaulich erklärt ist! zu 1. Das sind einfach die Formeln, die sich ergeben, wenn man die Definition der Determinante mit der Leibnitz-Formel einfach mal aufschreibt! Wie bereits gesagt: Du vernachlässigst die Definitionen! zu 2. Nur im erweiterten Matrix-Begriff. Allerdings ist dann die Determinante jeder "unechten quadratischen" Matrix gleich Null! Das ergibt sich aus dem Entwicklungssatz, wenn man den verstanden hat! zu 3. Diese Frage hat sich wohl mit der antwort zur zweiten Frage erledigt! zu 4. Das steht auch sehr schön bei wikipedia und ist sehr anschaulich an einer Matriz als Beispiel dargestellt! zu 5. siehe oben! zu 6. Es gibt bei Matrizen keine Division im eigentlichen Sinne, . als eigenständige Operation. Wenn man aber die Division als eine Multiplikation mit dem Inversen betrachtet (nichts anderes hat man mit Brüchen gemacht, der inverse Bruch hat dann nur den eigenen Namen "reziproker Bruch" erhalten), dann gibt es auch eine Art Division. Fazit: Neben den Definitionen, die Du unbedingt noch nacharbeiten musst, solltest Du Dir zum erarbeiten eines Themas ein Lehrbuch besorgen. Ein gutes Lehrbuch ist so aufgebaut, dass an keiner Stelle irgendetwas (Definitionen, Sätze, Beweise) benötigt wird, was erst später definiert, aufgestellt oder durchgeführt wird. Da kann man sein Wissen schrittweise auf dem bereits erworbenen aufbauen! Das Internet taugt in solchen Fällen höchstens als Nachschlagewerk. Da wird oft davon ausgegangen, dass man bereits die gesamte Lineare Algebra schon mal abgearbeitet hat. Das einzig sinnvolle, was man dort noch finden kann, sind Scripte von Vorlesungen der Linearen Algebra, wie . dieses: www.uni-math.gwdg.de/skripten/Aglaskript/agla.pdf oder www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/LAAG-Dipper-WS0910/skript/SkriptLA.pdf . Finden kannst Du solche Scripte über google mit den Suchbegriffen: Script Lineare Algebra |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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