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Matrizen potenzieren

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Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung

Didgeridoo aktiv_icon

16:46 Uhr, 27.11.2010

Ich soll

{(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})}^{40}

berechnen. Kann ich dies irgendwie mit den Eigenwerten bzw. Eigenvektoren anstellen? Die Eigenwerte von

(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

habe ich bereits berechnet, die wären:

λ_{1} = 1

und

λ_{2} = 3

.
Vielen Dank für eure Hilfe!

Alx123 aktiv_icon

16:55 Uhr, 27.11.2010

Hallo,
hier solltest du

A

diagonalisieren, also noch die Matrix

Q

bestimmen, für die dann gilt:

D = Q^{- 1} A Q

smiley91 aktiv_icon

18:37 Uhr, 27.11.2010

Welche Matrix ist genau

Q, A

und D? Ist

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

und

D = {(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})}^{40}

Alx123 aktiv_icon

19:19 Uhr, 27.11.2010

D

ist die Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente die Eigenwerte von

A

sind und

Q

ist die Matrix deren Spaltenvektoren die dazugehörigrn Eigenvektoren sind, es gilt:

D = Q^{- 1} A Q

\overset{}{\Leftrightarrow} Q D Q^{- 1} = A

Also, allgemein gilt:

A^{n} = {(Q D Q^{- 1})}^{n} = Q D Q^{- 1} \cdot Q D Q^{- 1} \cdot . . . \cdot Q D Q^{- 1}

( n-mal )

= Q D^{n} Q^{- 1}

und es gilt ja:

D^{n} = (\begin{array}{cc} {λ_{1}}^{n} & 0 \\ 0 & {λ_{2}}^{n} \end{array})

Didgeridoo aktiv_icon

19:43 Uhr, 27.11.2010

Ach so. Die Eigenwerte sind ja wie schon geschrieben 1 und

3,

die zugehörigen Eigenvektoren sind

{(0,0)}^{t}

sowie

α \cdot {(1, 1)}^{t}, α \in ℝ

Dann wäre

Q = (\begin{matrix} 0 & α \\ 0 & α \end{matrix})

und

D = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}),

aber

Q

ist ja nicht invertierbar?

Alx123 aktiv_icon

20:17 Uhr, 27.11.2010

Lauten so wirklich die Eigenvektoren?

edit:

Ah, natürlich meine ich:

A = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array})

,habe ich einfach vergessen.

Didgeridoo aktiv_icon

21:06 Uhr, 27.11.2010

Vielleicht, mach' ich das auch falsch, ich hab' leider noch nicht viel Erfahrung mit Eigenvektoren und Eigenwerten und ich hab' mir eigentlich selbst beigebracht.

(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot x + y \\ x + 2 \cdot y \end{matrix}) = 3 \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \Rightarrow

2 \cdot x + y = 3 \cdot x

x + 2 \cdot y = 3 \cdot y

\to x = y

entsprechend ist der erste Eigenvektor

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Dann

(\begin{matrix} 2 \cdot x + y \\ x + 2 \cdot y \end{matrix}) = 1 \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

\Rightarrow x = - y,

ach so, ja jetzt wo ichs nochmals rechne, stimmt dann bekomme ich den zweiten Eigenvektor

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

Dann wäre also

Q = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

und

Q^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix})

. Dann ist

A^{n} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3^{n} & 0 \\ 0 & 1^{n} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix})

Jetzt frag ich mich einfach, wie ich diesen riesen fetten Term berechnen soll,

3^{40}

ist ja schon:

12157665459056928801

. Gibt es da einen Trick?
Vielen Dank für eure Hilfe!

Alx123 aktiv_icon

21:31 Uhr, 27.11.2010

Das sieht ja schon ganz gut aus.

3^{40}

lässt du einfach so und rechnest damit weiter.

Didgeridoo aktiv_icon

22:12 Uhr, 27.11.2010

Ok, danke vielmals und entschuldigung, dass ich manchmal eine etwas lange Leitung hab'!

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