Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Matrizen vertauschbar

Matrizen vertauschbar

Universität / Fachhochschule

Tags: Matrix

gonnabeph aktiv_icon

15:14 Uhr, 23.06.2014

Hallo Freunde, ich habe die Aufgabe:

Sei

A

eine

n \times n

Matrix, die mit jeder anderen

n \times n

Matrix vertauschbar ist als

A B = B A

für alle

B

. Man zeige, dass es ein

λ \in K

mit

A = λ \cdot I d

gibt.

Meine Idee dazu ist recht dürftig. Ich dachte mir eventuell kann ich durch eine Umformung etwas erreichen.

A = λ I d

A - λ I d = 0

Und das sieht ja fast aus wie ein Eigenwertproblem. Allerdings hatten wir noch keine EW in der Vorlesung.

Kann mir jemand helfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

DrBoogie aktiv_icon

15:27 Uhr, 23.06.2014

Nehme als

B

eine Matrix mit nur einem Eintrag

1

, sonst

0

. Also,

1

in der i-ten Zeile und j-ten Spalte, alle anderen

0

. Dann kannst Du direkt zeigen, dass

a_{i j} = 0

für

i \neq j

. Dann bleiben noch die Diagonalelemente, welche mit ähnlicher Technik "abgearbeitet" werden müssen.

gonnabeph aktiv_icon

16:10 Uhr, 23.06.2014

Hallo DrBoogie,

ich verstehe noch nicht so wirklich warum ich mir eine Matrix

B

definieren soll wenn ich doch zeigen soll das es ein

λ

gibt mit

A = λ I d

kannst du mir das erklären?

Die Matrix

B

wäre dann:

B_{i j} = {1 w e n n i = j; 0 w e n n i \neq j}

(Das Semikonon zeigt einen Zeilenumbruch an)

Mal als Ergänzung, dass ist doch auch das Kronecker-Delta also

δ_{i j} = B_{i j}

dann ... oder?

Schonmal vielen Dank! :-)

DrBoogie aktiv_icon

16:20 Uhr, 23.06.2014

Du musst keine Matrizen definieren, sondern nur bestimmte Matrizen verwenden.
Du hast doch:

A B = B A

für alle

B

. Also insbesondere auch für

B

der Gestalt

B = (δ_{i j})

- ja, Du hast Recht, das kann man so schreiben.
Der Vorteil dieser Wahl ist, dass

A B

und

B A

für solche

B

leicht zu berechnen sind. Z.B.

A B = (\overline{0} . . ., a_{i j} \cdot {\overline{e}}_{i}, . . . \overline{0})

, wobei durch

\overline{0}

die Nullspalten bezeichnet sind und

a_{i j} \cdot {\overline{e}}_{i} = (0, . . ., 0, a_{i j}, 0, . . ., 0)^{t}

, wo

a_{i j}

an der

i

-ten Position steht. Ähnlich lässt sich

B A

für diese Matrix

B

berechnen.
Also, wegen

A B = B A

für alle

B

hast Du

A (δ_{i j}) = (δ_{i j}) A

und daraus sofort

a_{i j} = 0

für

i \neq j

(aber Du musst noch

(δ_{i j}) A

berechnen.

gonnabeph aktiv_icon

16:46 Uhr, 23.06.2014

Ist das nicht das selbe? Für

i \neq j

ist

δ_{i j} = 0

und damit auch

δ_{i j} A = 0 A =

der Nullmatrix?

Ehrlich gesagt verstehe ich noch nicht so wirklich was ich hier eigentlich mache :-P)

DrBoogie aktiv_icon

16:49 Uhr, 23.06.2014

Nein,

δ_{i j} A

ist keine Nullmatrix.

Was Du machst, weiß ich nicht, aber was Du machen musst - Du musst

δ_{i j} A

und

A δ_{i j}

ausrechnen, wobei die Hälfte ich schon gemacht habe. Aber anscheinend verstehst Du diese Hälfte auch nicht. Nimm den Fall

n = 3

und schreibe ehrlich

δ_{i j} A

und

A δ_{i j}

für alle Werte

i, j

. :-)

gonnabeph aktiv_icon

17:02 Uhr, 23.06.2014

Ich werde es noch einmal überdenken und melde mich später erneut. Bis hierhin schonmal danke! :-)

gonnabeph aktiv_icon

20:05 Uhr, 23.06.2014

So, ab an die Arbeit ...

1 Fall:

δ_{i j} A

δ_{11} = A

δ_{12} = 0 \cdot A

δ_{13} = 0 \cdot A

δ_{21} = 0 \cdot A

δ_{22} = A

δ_{23} = 0 \cdot A

δ_{31} = 0 \cdot A

δ_{32} = 0 \cdot A

δ_{33} = A

meinst du das so? Der zweite Fall wäre dann:

2 Fall:

A δ_{i j}

A δ_{11} = A

A δ_{12} = A \cdot 0

A δ_{13} = A \cdot 0

A δ_{21} = A \cdot 0

A δ_{22} = A

A δ_{23} = A \cdot 0

A δ_{31} = A \cdot 0

A δ_{32} = A \cdot 0

A δ_{33} = A

Gibt es dazu nicht auch diverse Rechenregeln?
Ich kenne zum Beispiel die Rechenregeln zu Kronecker-Delta

1)

δ_{i j} = δ_{j i}

δ_{i j} a_{j} = a_{i}

δ_{i i} = 3

δ_{i j} δ_{j k} = δ_{i k}

Gibt es so etwas auch für Kronecker Delta multipliziert mit einer Matrix?

Btw. wie mache ich nun weiter? :-)

DrBoogie aktiv_icon

20:16 Uhr, 23.06.2014

Sorry, weißt Du nicht, wie man Matrizen multipliziert? :-O

Ich zeige mal für

n = 3

i = 1, j = 2

(δ_{12}) \cdot A = (\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

und

A \cdot (δ_{12}) = (\begin{array}{rcl} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & a_{21} & 0 \\ 0 & a_{31} & 0 \end{array})

.

Und wegen

(δ_{12}) \cdot A = A \cdot (δ_{12})

folgt

a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0

und

a_{11} = a_{22}

.

Oder war es ein Missverständnis, dass ich nicht klar genug erklärt habe, was ich unter der Matrix

(δ_{i j})

meine? Die Matrix

(δ_{i j})

hat überall Null stehen, außer auf der Kreuzung der

i

-ten Zeile und der

j

-ten Spalte (dort steht

1

).

Also z.B.

(δ_{13}) = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

und

(δ_{23}) = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

gonnabeph aktiv_icon

20:39 Uhr, 23.06.2014

Achso meinst du das. Ich dachte wir reden über das Kronecker-Delta was doch nur auf der Diagonalen einsen stehen hat?! Also auch nur

1

ist wenn

i = j

. Das Kronecker Delta ist doch als Einheitsmatrix darstellbar? Deswegen bin ich gerade etwas verwirrt wo die einsen bei dir auftauchen :-D)

Und das soll ich jetzt für alle Fälle

i

und

j

mit

n = 3

durchziehen?

DrBoogie aktiv_icon

22:57 Uhr, 23.06.2014

Nein, der Fall

n = 3

dient nur der besseren Anschauung.

Was Du brauchst, ist der allgemeine Fall.
Aber auch im allgemeinen Fall folgt aus

δ_{i j} A = A δ_{i j}

, dass

a_{i j} = 0

und

a_{i i} = a_{j j}

für

i \neq j

, die Argumentation ist dieselbe - also Du musst auch im allgemeinen Fall Matrizen multiplizieren.

gonnabeph aktiv_icon

12:14 Uhr, 25.06.2014

Mal einen erneuten Anlauf.

Sei

B_{i j} = 1

wenn

i = j

sonst Null.

Ich kann leider keine Matrix darstellen mit LaTeX irgendwie werden nicht alle Befehle unterstützt ... Ich versuche es mal so leserlich wie möglich darzustellen:

Dann ist

A \cdot B_{i j}

ja die Multiplikation der Materix mit den Einträgen

a_{11}

bis

a_{m n}

und

B_{i j}

die Matrix mit den Einträgen auf der Diagonalen mit

d i a g = (1, 1, 1 . . ., 1)

Und wenn man die beiden Matrizen mit einander multipliziert bleibt auf der Diagonalen übrig:

a_{11} a_{22} a_{33} . . . a_{m n}

der Rest Null.

Für den Fall

B_{i j} \cdot A

kommt das gleiche heraus also auch auf der Diagonalen nur die Einträge

a_{11} a_{22} a_{33} . . . a_{m n}

Da auf der Diagonalen nur die Einträge

a_{11} a_{22} a_{33} . . . a_{m n}

herauskommen lässt sich

A \cdot B = B \cdot A

auch schreiben als

A = λ \cdot I d

Ist das so gemeint? Schonmal danke für deine Hilfe und Verständnis für meine Unfähigkeit hier mit LaTeX umzugehen :-P)

Liebe Grüße! :-)

DrBoogie aktiv_icon

16:52 Uhr, 25.06.2014

Damit zeigst Du nur, dass die Matrix

I d

tatsächlich mit

A

vertauschbar, was nun wirklich ziemlich trivial ist. Bzw. versuchst Du das zu zeigen, denn auch das schaffst Du nicht. Weil

A B_{i j}

(mit Deiner Definition von

B_{i j}

) keine Diagonalmatrix ist, vielmehr ist

A B_{i j} = A

, weil Deine

B_{i j}

nichts anderes als

I d

ist.
Also, Du musst irgendwie lernen, wie man Matrizen multipliziert, offensichtlich verstehst Du es immer noch nicht. Kuck in Wikipedia oder sonst wo die Regeln der Matrixmultiplikation.

gonnabeph aktiv_icon

18:43 Uhr, 25.06.2014

Ich weiß wie man Matrizen multipliziert. Das Problem ist eher das ich nicht verstehe was ich hier eigentlich mache ... Ist jetzt auch egal. Ich werde die Aufgabe in der Besprechung mir anschauen.

Trotzdem danke!

1174891

1174338

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?