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Matrizendarstellung und Anullator aus Kern/Bild

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Anullator, Lineare Abbildungen, Matrizendarstellung

iidefix aktiv_icon

19:15 Uhr, 26.10.2013

Hallihallo,

ich habe zwei Aufgaben, zu denen ich leider aus auch Literatur und Internet nicht schlau werde, vielleicht kann mir jemand helfen:

Gegeben ist von einer linearen Abbildung T: V

\to

W der Kern und das Bild:

k e r (T) = s p a n {[1 - 1 0 1]^{T}, [0 0 2 1]^{T}}

i m (T) = s p a n {[1 2 3]^{T}, [0 1 - 1]^{T}}

(lauter Spaltenvektoren ;-)

i) Geben Sie eine mögliche Matrizendarstellung der Abbildung T an.
ii) Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Anullator vom Unterraum im(T) im Kern der dualen Abbildung T^* liegt.

Meine Ansätze:
i) Ich weiß dass die Matrizendarstellung über die Basisvektoren des

R^{4}

herzuleiten ist und eine Matrix der Dimension 3 x 4 vom Rang 2 heraus kommen sollte. Ich weiß allerdings nicht, wie beliebig da jetzt was wählbar ist bzw. welche Eigenschaften aus Kern und Bild ableitbar sind.

ii) Ich kann mit dem Begriff Anullator wenig anfangen und die allg. mathematischen Erklärungen im Internet machen mich nicht schlauer. Ich muss irgendwie über die Abbildung und das Bild auf Null kommen und dann zeigen, dass das Ergebnis linear abhängige Vektoren vom Kern sind, ich hab aber keinen konkreten Ansatz dazu.

Wer kennt sich da aus?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Apfelkonsument aktiv_icon

12:56 Uhr, 27.10.2013

Hallo,

ich kann dir nur bei der ersten Aufgabe helfen, da ich in LinA nicht so gut bin und nicht weiß, was ein Annulator überhaupt ist.

Zur 1.

Betrachtest du die Matrixdarstellung von

T

bezüglich einer Basis in

R^{4}

, deren 3. und 4. Basisvektor jene sind, die den Kern aufspannen und einer Basis in

ℝ^{3}

deren 1. und 2. Basisvektor jene sind, die das Bild aufspannen, so muss diese Matrix so aussehen

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

. Das solltest du dir klar machen können.

Jetzt kannst du dir die Basen oben beliebig zu Basen des gesamten Raums ergänzen und einen Basiswechsel zu den Standardbasen durchführen.

Shipwater aktiv_icon

13:21 Uhr, 27.10.2013

Bei ii) braucht man dann auch nur die Definitionen anzuwenden. Als Annullator von

i m (T)

bezeichnet man hier einfach die Menge

{f \in W^{⋆} | \forall x \in i m (T) : f (x) = 0}

. Nun zeigst du für beliebiges

f

aus dem Annullator von

i m (T),

dass es von der dualen Abbildung

T^{⋆} : W^{⋆} \to V^{⋆}, φ \mapsto φ \circ T

auf die Nullfunktion abgebildet wird.

iidefix aktiv_icon

15:58 Uhr, 27.10.2013

Danke erstmal!

@Apfelkonsument:
stimmt also folgende Vorgehensweise wenn ich die Basen erweitere (beliebig zu vollem Rang) und die Einheitsvektoren rechts dazu schreibe:

1 0 0 0 1 0 0 0

- 1 0 1 0 0 1 0 0

0 2 0 0 0 0 1 0

1 1 0 1 0 0 0 1

Anschließend hab ich durch Zeilenumformungen links eine Einheitsmatrix und rechts dann die gesucht Matrizendarstellung meiner Abbildung:

1 0 0 0

0 0 1 / 2 0

1 1 0 0

- 1 0 - 1 / 2 1

Stimmt das so?

@Shipwater:
Diese allgemeine Darstellung des Anullators habe ich auch im Internet gefunden ich kann damit aber konkret wenig anfangen. Du meinst ich kann die Abbildung beliebig wählen zB:

f ([x_{1} + x_{2}, x_{1} \cdot x_{2} + x_{3}, x_{2} - x_{3}]^{T})

Aber wie und was löse ich dann nach Null auf bzw. wie kommt dann das Bild ins Spiel? Sorry, ich kenn mich mit linearer Algebra wenig aus und kann mit den allgemeinen Defintitionen wenig anfangen bzw. bräuchte konkrete Starthilfe ;-)

Danke!

Shipwater aktiv_icon

16:42 Uhr, 27.10.2013

Das hat nicht viel mit dem zu tun das Apfelkonsument vorgeschlagen hatte. Die Vektoren, die

k e r (T)

aufspannen solltest du als 3. und 4. Basisvektor wählen. Eine mögliche Wahl wäre dann

B_{V} = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}

. Dann noch

B_{W} = {(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}

wobei die ersten zwei Basisvektoren aus

i m (T)

sind. Setzt du nun

T (v_{1}) = w_{1}, T (v_{2}) = w_{2}, T (v_{3}) = T (v_{4}) = 0

dann sind die an

T

gestellten Forderungen erfüllt und es ergibt sich

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

als Abbildungsmatrix

D_{B_{W} B_{V}} (T)

. Nun kommt der bereits angesprochene Basiswechsel zu den Standardbasen. Klar wie du das erledigen kannst?

Mit beliebig war natürlich nicht gemeint, dass du dir ein beliebiges Element aus

i m {(T)}^{0}

auspicken kannst, sondern dass du für ein nicht weiter bestimmtes Element aus

i m {(T)}^{0}

folgerst, dass es im Kern von

T^{⋆}

liegt. So wie du halt auch allgemein vorgehst, um Mengeninklusionen

A \subseteq B

zu zeigen. Sei also

f \in i m {(T)}^{0}

. Zu zeigen ist ja nur, dass

f \circ T

dann die Nullabbildung aus

V^{⋆}

ist, also mit anderen Worten:

\forall v \in V : f (T (v)) = 0

. Da brauchst du dann halt echt nur die Definitionen, eben dass

T (v) \in i m (T)

für jedes

v \in V

und dass

f \in i m {(T)}^{0}

.
Ach und

i m {(T)}^{0}

bezeichnet den Annullator von

i m (T)

iidefix aktiv_icon

21:23 Uhr, 28.10.2013

Entschuldige bitte, ich komme noch nicht ganz klar. An sich muss die Abbildungsmatrix den gleichen Rang wie das Bild haben, dadurch kann ich die Abbildungsmatrix auf die einfachste Form zu:

$(\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} & 0 & 0 \\ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} & 0 & 0 \\ \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & 0 & 0 \end{matrix})$

Das ist mir soweit klar.

Ich kenne einen Basenwechsel wie oben beschrieben, dass ich einfach die Basis daneben schreibe und per Gauß die "rechte" Basis nach links bringe (wie im vorigen Beitrag beschrieben?). Allerdings klappt das nicht wenn ich keinen vollen Rang habe...

Das heißt die Matrizendarstellung ist gleich der Abbildungsmatrix? (damit wäre i) gelöst)

Wie gehts dann für ii) weiter?

Danke!!!

Shipwater aktiv_icon

09:31 Uhr, 29.10.2013

Wenn du rechts die Einheitsmatrix hinschreibst und dann solange gaußt bis links die Einheitsmatrix steht, hast du rechts doch nachher die Inverse stehen. Ich wüsste nicht was das nun mit dem Basiswechsel zu tun hat.
Hier mal die Basiswechselformel aus unserem Skript:
Unbenannt

Bei ii) steht eigentlich schon alles da was man zu sagen kann.

iidefix aktiv_icon

16:27 Uhr, 30.10.2013

Ok, halbwegs klar das ganze.

Danke für eure Hilfe!!

Shipwater aktiv_icon

16:02 Uhr, 01.11.2013

Viel Erfolg weiterhin.

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