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Matrizengleichungen
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 14:12 Uhr, 27.02.2007  |
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Hallo! ich habe so eine dumme hausaufgabe und blick bei dem neuen thema Matrizengleichungen voll nicht durch..Man muss bei den Aufgaben nach X auflösen..Wär cool wenn ihr mir helfen könntet!! Lösen Sie die Matrizengleichungen nach X auf: 1.) X A + AB = 2A 2.) X A + 3X = 2E - A 3.) 2X = (X-4E)A + XB 4.) A + AX = - A +X 5.) AX - B = A - 2E 6.) x(A + B) = XA + A - 2E |
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Was sind A, B, E, E könnte die Einheitsmatrix sein, hast du konkret was für A, B angegeben? |
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anonymous 14:31 Uhr, 27.02.2007 |
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E ist die Einheitsmatrix.. Und es sind keine Zahlen angegeben, man muss es einfach so lösen, ich glaub mit ausklammern vielleicht oder so..ich weiß nich |
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Dann würde ich's so schreiben: 1.) X A + AB = 2A |-AB XA = 2A-AB XAA^-1 = (2A-AB)A^-1 |von rechts mit A^-1 multiplizieren, dabei gilt AA^-1 = E X = 2E - ABA^-1 ABA^-1 kannst du im Allgemeinen nicht zusammenfassen, da A und B nicht vertauschen. 2.) X A + 3X = 2E - A |benutze 3X = 3E*X=3X*E, da E mit jeder beliebigen Matrix vertauscht XA + X*3E = 2E-A X(A+3E)=2E-A X = (2E-A)(A+3E)^-1 Soweit verstanden? Probier die anderen mal selber, kannst sie gerne zum korrigieren hier reinstellen |
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anonymous 15:00 Uhr, 27.02.2007 |
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Ok vielen Dank! Bei der 1. Aufgabe, wie kommt man da auf A^-1? ich probier des jetzt mal selbst zu lösen: 3.) 2X = (X-4E)A + XB | - XB 2X - XB = (X-4E)A weiter weiß ich nicht =( 4.) A + AX = - A +X | -A AX = -AAX | :X X = AAA 5.) AX - B = A - 2E keine ahnung 6.) x(A + B) = XA + A - 2E oh man ich check da auch gar nix vielleicht kann ichs ja nachvollziehen wenn du mir das auch löst :-( bin am verzweifeln |
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Hallo! Ich schreib mal noch ein paar grundlegende Sachen auf (die mir gerade so einfallen, das ist sicherlich nicht vollständig) zum Rechnen mit Matrizen, da dir das anscheinend noch nicht geläufig ist. man kann grundsätzlich Matrizen ausklammern und ausmultiplizieren, aber: Bei Matrizenrechnung muss man im Gegensatz zu Zahlen folgendes beachten: A und B vertauschen im Allgemeinen nicht, daraus ergibt sich: Beim Ausklammern oder Ausmultiplizieren darauf achten, immer von der richtigen Seite an etwas dran zu multiplizieren: z.B. A(B+C) = AB + AC das gilt nicht: A(B+C) = BA + CA bei Zahlen gilt: z.B. 3*(4+2a)=3*4 + 3*2a aber auch = 4*3 + 2a*3, da Zahlen eben vertauschen, Matrizen aber meistens nicht. Das heißt auch beim Ausklammern muss der Faktor den man ausklammert immer auf der selben Seite der matrizen stehen: Bei AB + CA kann man das A nicht ausklammern, da das A einmal links und einmal rechts steht. Bei AB + CB - DB kann man hingegen das B ausklammern, allerdings nach rechts: AB + CB - DB = (A+C-D)B das ist nihct dasselbe wie B(A+C-D) Soweit klar? Weiterer Unterschied zwischen Zahlen und Matrizen: Beispiel bei Zahlen: bei der Gleichung 4x = 8 Dann kann man einfach durch 4 auf beiden Seiten teilen und erhält x = 2 Beispiel Matrizen: AX = B Hier kann man nicht einfach durch A teilen auf beiden Seiten, sondern man benutzt das Inverse der Matrix A um das A links zu entfernen: Inverses der Matrix A wird abgekürzt mit A^-1 und es gilt (Definition des Inverses: AA^-1 = E und A^-1A = E Multipliziert man also bei obiger Gleichung auf beiden Seiten von links mit A^-1 ergibt sich: A^-1AX = A^-1B EX = A^-1B X = A^-1B , da EX = XE = X ist, das heißt die Einheitsmatrix angewendet auf eine beliebige Matrix ergibt wieder die Matrix selber, die Einheitsmatrix vertauscht auch mit jeder Matrix. Ich denke, dass erklärt deine Frage zu A^-1 !?! Steht ein (Zahlen-)Faktor vor einer Matrix, kann man das so umschreiben: 2X = 2EX = X*2E da sowohl E als auch der Faktor mit jeder Matrix X vertauscht Zusammenfassung: - beim Ausmultiplizieren von Matrizen immer an die richtige Seite dranmultiplizieren: A(B+C-D) = AB + AC - AD (B+C-D)A = BA + CA - DA - beim Ausklammern darauf achten, dass die Matrix, die man ausklammert, bei jedem Term auf derselben Seite steht und auch beim Ausklammern auf die richtige Seite schreiben AD - BD + CD + DD = (A-B+C+D)D AB + AC - AA = A(B+C-A) - es gilt: X = EX = XE - es gilt: aX = aEX = XaE mit a beliebigen Zahlenfaktor ich probier des jetzt mal selbst zu lösen: 3.) 2X = (X-4E)A + XB | - XB 2X - XB = (X-4E)A weiter weiß ich nicht =( -rechts weiter ausmultiplizieren -XA auf die andere Seite holen -2X so umschreiben, dass X links steht, damit man ausklammern kann -X links ausklammern Dann steht da: X(...) = _ _ _ dann mit dem Inversen der Klammer (...) von rechts multiplizieren und das X steht allein da 4.) A + AX = - A +X | -A AX = -A-A + X |-X AX - X = -2A AX - EX = -2A (A - E)X = -2A X=(A-E)^(-1)*(-2A) X = -2*(A^-1A -E^(-1)A) = -2*(E - A) 5.) AX - B = A - 2E +B und dann das A links vom X entfernen, weißt du inzwischen wie??? und die 6.) klsppt jetzt vielleicht auch noch??? Ich warte auf deine Lösungen und gebe gerne weiter Hilfe! |
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anonymous 16:36 Uhr, 27.02.2007 |
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ok also jetzt zu 3) 2X = (X-4E)A + XB | - XB 2X - XB = (X-4E)A 2X - XB = XA - 4 EA | - XA 2X - XB - XA = -4EA X(2-B-A) = -4EA X = (-4EA)(2-B-A)^-1 stimmt das?? dann bei 5.) AX - B = A - 2E | +B AX = A - 2E + B ab jetzt weiß ich echt nicht weiter wie man des A da vom X wegbekommt und zu 6.) X(A+B) = XA + A - 2E | -XA X(A+B)-XA = A - 2E und da weiß ich jetzt auch net weiter Nochmal vielen Dank dass du mir hilfst |
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anonymous 17:33 Uhr, 27.02.2007 |
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hab dann gleich noch ne Frage die aufgabe hier steht auch im buch und mich würd intressieren wie hier die lösung dann wär.. also des hier: AX^-1 - B = 2(X^-1 - A) dann hab ich noch ne 2te hausaufgabe die ich auch net versteh die geht so wär echt nett wenn du mir hierbei auch hilfst Gegeben sind die Matrizen A und B durch 3 -3 0 A = ( 2 5 -1 ) 4 -1 1 4 3 3 B = 1/30 ( -6 3 3 ) -22 -9 21 Zeigen Sie, dass B die inverse Matrix ist. meine frage, wie soll man das zeigen? und was ist überhaupt eine inverse Matrix? |
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Manchmal frag' ich mich wofür man ausführlich schreibt, wenn die Hälfte dann anscheinend doch überlesen wird... Schade, dass du noch nicht mal die Zusammenfassung beachtest... Also nochmal: zu 3) 2X = (X-4E)A + XB | - XB 2X - XB = (X-4E)A 2X - XB = XA - 4 EA | - XA 2X - XB - XA = -4EA X(2-B-A) = -4EA X = (-4EA)(2-B-A)^-1 stimmt das?? im Großen und ganzen richtig, ABER: wenn du die 2 und das X vertauschst, musst du die Einheitsmatrix mitbenutzen, da du sonst das, was du ausklammerst, nicht als Matrix zusammenfassen kannst; richtig wäre also: 2X-XB-XA = -4EA X*2E - XB - XA = -4EA X(2E-B-A)=-4EA X =-4EA*(2E-B-A)^(-1) Dass EA = A ist habe ich oben bereits mehrmals hingeschrieben, ansonsten(falls du es nicht glaubst) nimm eine beliebige Matrix und multipliziere mit der Einheitsmatrix und schaue was rauskommt! Also: X = -4A*(2E-B-A)^-1 dann bei 5.) AX - B = A - 2E | +B AX = A - 2E + B ab jetzt weiß ich echt nicht weiter wie man des A da vom X wegbekommt Traurig, traurig, dass du jeweils den letzten Schritt in Aufgabe 1), 2) und 3) noch immer nicht verstanden hast, denn dann wüsstest du es! Multipliziere mit dem Inversen von A. Das Inverse einer Matrix ist die Matrix, die multipliziert mit A die Einheitsmatrix gibt. Also - wie oben bereits mehrfach erwähnt: AA^(-1) = A^(-1)A = E AX = A-2E + B A^(-1)AX = A^(-1)(A-2E + B) X = A^(-1)(A-2E + B) Auch hier darfst du nochmal versuchen, deine Künste zu beweisen. Die rechte Seite lässt sich weiter vereinfachen, indem man ausmultipliziert und die Definition des Inversen anwendet sowie die oben erwähnte Eigenschaft, dass E mit allen Matrizen vertauscht. Und, wie schaut die vereinfachte rechte Seite aus? und zu 6.) X(A+B) = XA + A - 2E | -XA X(A+B)-XA = A - 2E und da weiß ich jetzt auch net weiter Am einfachsten geht es, links auszumultiplizieren. und dann hast du inzwischen (hoffentlich :-)) verstanden, wie man das B an dem X wegbekommt!!! Zu deinen neuen Aufgaben: Weißt du inzwischen, was das Inverse einer Matrix ist? Wenn nicht, hier kopier' ich dir's nochmal rein: Das Inverse einer Matrix ist die Matrix, die multipliziert mit A die Einheitsmatrix gibt. Also - wie oben bereits mehrfach erwähnt: AA^(-1) = A^(-1)A = E Habe ich übrigens auch schon so in etwa in Re5 geschrieben, was ja leider offenbar zu schnell/ überlesen wurde... Dann hast du vielleicht auch eine Idee, wie man zeigt ob B die inverse Matrix zu A ist? Vielleicht hast du ja auch eine Idee, wie man das X^(-1) in der Gleichung wegbekommt? |
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anonymous 19:27 Uhr, 27.02.2007 |
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Zu 6. X(A+B) = XA + A - 2E |-XA X(A+B) - XA = A- 2E XA + XB - XA = A - 2E XB = A - 2E kann man dann, also des B so behandeln wie das A? also praktisch dann so: B^-1XB = B^-1(A-2) X = B^-1 (A-2E) oh man wär echt geil wenn des richtig wär.. und dann noch zu der frage, mit wie ich des x^-1 wegbekomm, vielleicht einfach umgekehrt rechnen? also vielleicht so: AX^-1 - B = 2(X^-1 - A) AX^-1 - B = 2X^-1 - 2A und daann öhm ne doch ich hab keine ahnung, hilf mir bitte |
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Zu 6. X(A+B) = XA + A - 2E |-XA X(A+B) - XA = A- 2E XA + XB - XA = A - 2E XB = A - 2E kann man dann, also des B so behandeln wie das A? also praktisch dann so: B^-1XB = B^-1(A-2) X = B^-1 (A-2E) oh man wär echt geil wenn des richtig wär.. Wäre geil, ist aber leider falsch!!! :-) Siehe Re3: ABA^-1 kannst du im Allgemeinen nicht zusammenfassen, da A und B nicht vertauschen. Das gleiche gilt natürlich für B^(-1)XB. Du musst von rechts mit B^(-1) multiplizieren. Du kannst nur B^(-1) und B zu E zusammenfassen, wenn sie direkt nebeneinander stehen. Damit sie nebeneinanderstehen, müsste man B und X auf der linken Seite vertauschen können, das gilt aber im Allgemeinen nicht: XB ist nicht gleich BX (in den allermeisten Fällen) Also: XBB^(-1) =(A-2E)B^(-1) X = AB^(-1)-2B^(-1) EB^(-1) kannst du natürlich zu B^(-1) zusammenfassen und dann noch zu der frage, mit wie ich des x^-1 wegbekomm, vielleicht einfach umgekehrt rechnen? also vielleicht so: AX^-1 - B = 2(X^-1 - A) AX^-1 - B = 2X^-1 - 2A Tipp: von rechts mit X multiplizieren, dann ergänzen sich X^-1 und X jeweils zu E und du hast folgende Gleichung da stehen, die du wie oben nach X auflösen kannst: A - BX = 2E - 2AX Und? Jetzt vielleicht mal was komplett richtiges als Antwort? :-) |
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anonymous 20:53 Uhr, 27.02.2007 |
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ich gebs auf meine nerven sind am ende.. woher kannst du das so gut? hast du das studiert? is ja der hammer |
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Meine Frage Und? Jetzt vielleicht mal was komplett richtiges als Antwort? :-) sollte nicht demotivieren oder gar herablassend wirken...ich hoffe das ist nicht falsch rübergekommen... hier noch die letzte Lösung: A - BX = 2E - 2AX 2AX - BX = 2E - A (2A-B)X = 2E-A X = (2A-B)^(-1)*(2E-A) Und ein guter Tipp zuletzt: Fange bei den Grundlagen an! Ich vermute du hast relativ große Lücken, da ist es schwierig, viel auf einmal nachzuholen. Gehe das Thema über Matrizenrechnung in deinem Buch Schritt für Schritt durch... trotzdem noch einen schönen Abend! |
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