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Matrizenrechnung - Fischpopulation
Schüler Berufliches Gymnasium,
Tags: Fischpopulation, Populationmatrix
 
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Hallo ich habe ein Problem bei den Matrizenrechnung. Ich soll am Dienstag diese Aufgabe vorstellen jedoch ist es zu lange her, dass ich mir zu sicher sein kann, dass ich richtig liege. Jedenfalls habe ich die Aufgabe berechnet und durch aufgabe konnte ich die richtigkeit überprüfen. Jedoch bei der Aufgabe bin ich gescheitert. Hier die Aufgabe: http//fricke-consult.de/MES/13BG%20%28Mathe%29%20%282011%29/Aufgabe%20%28LinAl%29%20Fischzucht.pdf Mein Problem ist, dass ich nicht weiss was mit der Übergangsmatrix gemeint ist. Für die Übergangsmatrix habe ich die Werte eingesetzt. Was muss ich denn jetzt bei der Aufgabe machen(einsetzten). Kann ich die Werte einfach in die Übergangsmatrix einsetzen? Und wenn ja wie berechne ich denn den Wert für Jahre aus ? hoffe ihr könnt mir helfen. MfG Cerkez Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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anonymous 19:44 Uhr, 19.02.2012 |
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Ich sehe, du bist Schüler aus Hamburg, denn Populationsaufgaben dieser Art sind typische Abituraufgaben aus dem Bereich der Linearen Algebra im Hamburger Zentralabitur.
Du musst dir zunächst im Klaren sein, was die Matrix beschreibt. Sie gibt die Populationsverteilung im nächsten Zeittakt an und bestimmt langfristig gesehen die Populationsentwicklung. Was im ersten Spiegelpunkt von Aufgabe von dir erwartet wird, ist nichts anderes als die dritte Potenz der Matrix zu bilden. Im Vortext der Aufgabe ist bereits (freundlicherweise!!) angegeben, wie man die dritte Potenz berechnet. Da du die Koeffizienten und kennst, musst du doch nur noch einsetzen und du erhälst die veränderte Matrix. Im Anschluss nutzt du diese Matrix und berechnest damit die Jahresbestände (da nicht genau formuliert ist, ob die Einzelbestände oder der Gesamtbestand gefordert ist, würde ich im Zweifelsfall beides mit angeben). Überleg dir mal, wie die dritte Potenz mit den geforderten Jahren zusammenhängen. Wie lässt sich bspw. mit der dritten Protenz der Matrix die sechste Potenz ermitteln (Potenzgesetze!!)? Wie man den Bestand letztlich berechnet, weiß du ja (siehe Aufgabe . Die Startpopulation von vorher soll ja weiterhin gelten. Den Gesamtbestand erhälst du, wenn du die Einzelnbestände addierst (nicht wahr?). Wie lässt sich das ganz einfach mittels Vektorschreibweise schreiben? (Zeilenvektor!). Im zweiten Spiegelpunkt musst du das ganze nur noch interpretieren. Was gibt denn die dritte Potenz der Matrix an? (erste Potenz, also gibt die Verteilung nach einem Jahr an, dritte Potenz also die Verteilung....) Du hast jetzt hohe Potenzen gebildet. Schau dir die Bestände an. Was fällt dir auf? Wie lässt sich das im Zusammenhang mit der Matrix erklären? Lies dir nochmal meinen ersten Satz des zweiten Absatzes durch. Für Aufgabenteil schon mal im Voraus: Wenn du den Vorjahresbestand ermitteln willst, dann willst du doch wissen, mit welchem Vektor die Matrix (vorausgesetzt sie besitzt im Vorjahr bereits Gültigkeit, muss hier angenommen werden) multipliziert werden muss, damit du eben deinen Startvektor aus Aufgabenteil erhälst. Du hast also einen Vektor mit drei unbekannten Koeffizienten und musst ein Gleichungssstem lösen (hast du ein CAS, . Casio Classpad, so kannst du ihn das natürlich machen lassen). Im Anschluss musst du dir die Koeffizienten (Werte) des Vektors genau angucken, oder besser die Beträge. Macht das Ergebnis im Sachkontext Sinn? Gruß Apollonios |
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Also zunächst einmal ich bin Schüler aus Hessen :-) aber trotzdem ist die lineare Algebra "leider" Bestandteil in hessischen Landesabitur. Danke für die ausführliche Erklärung. Ich habe einige Rechnungen aufgestellt aber diese würden der Erklärung widersprechen. Naja ist die Potenz als Übergangsmatrix für das dritte Jahr zu betrachten? Wenn das nicht der Fall ist, als was nehme ich denn die dritte Potenz von an ? Was sagt diese aus? MfG Cerkez |
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Habe soweit die Aufgaben mit den Erklärungen bearbeitet. Hoffe habe die Aufgaben richtig sonst weiss ich auch nicht weiter jedenfalls alleine nicht. Naja hatte zwar nur nach der Erklärung für Aufgabe gefragt wäre aber sehr nett, wenn jemand die restlichen Aufgaben auch durchgucken könnte. Die habe ich mal ausgelassen. Hier die Rechnungen: http//www.imagebanana.com/view/cw9z7x3i/Foto1.JPG http//www.imagebanana.com/view/313ltfj6/Foto2.JPG |
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anonymous 22:38 Uhr, 19.02.2012 |
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Sorry für die voreilige Einteilung. Ich wusste bislang nicht, dass Hessen auch derartige Aufgaben seinen SchülerInnen vorlegt.
Dein rechnerischer Ansatz ist richtig, die Interpretation etwas ungenau. Die sechste Matrixpotenz gibt die Übergange nach 6 Zeittakten (Jahren) an, keine Bestände. Dabei ist bei der Interpretation der Matrixelemente äußerste Vorsicht geboten, weil sich die Übergangsraten ja jeweils aus Übergängen der vorherigen Zeittakte zusammensetzen. Wenn du als Startvektor nimmst (sollst du ja auch), dann beschreibt nicht die Verteilung nach drei, sondern 6 Jahren. Denn das ist ja nichts anderes als Du musst sogar den Vektor verwenden, wenn du mit der Matrixpotenz arbeitest. Ansonsten müsstest du immer nur den aktuellen Bestandsvektor mit der einfachen Matrix verwenden, für den Bestandsvektor nach 5 Jahren. Deine Rechnungen stimmen soweit. Beachte allerdings, dass bei deiner Berechnung für und Jahre die Rechenvorschrift nicht usw. sein darf, weil dies die Matrixpotenz angibt. Du meinst natürlich den Bestand, den du mit usw. bezeichnen solltest, um Missverständnisse zu vermeiden. |
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Ja meinte das natürlich. :-) Habe es aber selber erst gemerkt als das Bild hochgeladen war... Alles klar danke für die Hilfe hat mir echt geholfen. Habe sogar verstanden um was es ging, ist auch von Vorteil, weil ich die Aufgaben ja erklären muss. Habe zwar viel Umstände gemacht aber ginge es noch was zu den restlichen Aufgaben zu sagen? Um es mal vorsichtig zu formulieren nehme ich zwar an, dass diese richtig sein müssten aber Kritik nehme ich gerne an. :-) |
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anonymous 22:57 Uhr, 19.02.2012 |
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Was ist mit den restlichen Aufgaben? |
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Habe die auch gerechnet. Die Rechnungen sind auch als Bilder hochgeladen. Wollte nur wissen, ob die auch so richtig angenommen und dementsprechend beantwortet sind. |
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anonymous 23:14 Uhr, 19.02.2012 |
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Was ist mit Aufgabe e?
Die Begründung für Aufgabe habe ich nicht verstanden. Aufgabe kannst du einfach mit deinem CAS berechnen lassen, indem du ihn das lineare Gleichungssystem lösen lässt. Dabei ist die Koordinate gegeben, die anderen beiden unbekannt. Nach diesen Unbekannten wird dann aufgelöst. Bei Aufgabenteil ist die Schreibweise nicht schön ("solve"). Die CAS-Befehle solltest du beim Aufschreiben umgehen. Schreib lieber, dass die Lösung des entsprechenden Gleichungssystems ist: Aber das hängt natürlich davon ab, was dein Lehrer will. |
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BEi der Aufgabe habe ich das im Prinzip auch gemacht. Habe nochmal im CAS geguckt, was ich alles eingegeben habe. Aufgabe schien mir ähnlich wie die Aufgabe nur, dass es im 3-Jahres-Zyklus ist statt im 1-Jahres-Zyklus. Habe die erstmal aus Zeitgründen auf morgen verlegt. :-) Aufgabe Es war ja am Anfang gesagt, dass die Überlebensrate der Altfische beträgt. Und durch die neue Aufgabenstellung ist ja gesagt worden, dass der überlebenden Altfische abgefischt werden und da noch die Hälfte im nächsten Jahr wegfällt, weil sie stirbt komme ich auf . zu Bei der Schreibweise ist mein Lehrer zufrieden. :-) |
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anonymous 16:32 Uhr, 20.02.2012 |
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Die Lösung von Aufgabe ist richtig, wenn auch zunächst nicht leicht nachvollziehbar (jedenfalls ohne deine Ergänzung). Achte am Dienstag darauf, dass du genau erklärst, wie du zu den kommst, also den Term erklärst.
Bevor du den Term . berechnest, würde ich erläutern, dass der sowieso (rein natürlich bedingte) Anteil der Überlebenden der Altersklasse 'Alttiere' beträgt und dass davon nur also nicht abgefischt werden. Demnach verbleiben wegen der Alttiere in der Altersklasse. Im Prinzip hast du das ja auch bereits gut erläutert. Tu das bloß unbedingt schon, bevor Nachfragen dazu gestellt werden. Ich würde der Vollständigkeit halber im Term . die Klammern setzen. Ansonsten gut gelöst!! |
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Alles klar werde ich morgen berücksichtigen. Hoffe, dass die Rechnungen an sich gut nachvollziehbar sind. Danke nochmal vielmals, ohne Hilfe wäre ich niemals darauf gekommen. MfG Cerkez |
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