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Mausproblem

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
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Froog

Froog

05:05 Uhr, 16.05.2019

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In jedem Eckpunkt eines gleichseitigen Dreiecks befindet sich eine Maus. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnen die Mäuse aufeinander zuzukrabbeln. Dabei krabbelt Maus 1 immer direkt auf Maus 2 zu, Maus 2 auf Maus 3 und Maus 3 auf Maus 1. Die Geschwindigkeit jeder Maus ist dabei gleich dem Vektor von seiner Position zur Position der Maus, auf die sie zukrabbelt. Bestimmen Sie die Bahnkurven der Mäuse, indem Sie ein System von Differentialgleichungen für ihre Positionen aufstellen und lösen. Was passiert für t?

Hinweis: Es ist vorteilhaft, die Position der k-ten Maus durch eine komplexe Zahl zk, k = 1,2,3 zu beschreiben. Eine geschickte Wahl des Ursprungs des Koordinatensystems ist ebenfalls von Vorteil.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:23 Uhr, 16.05.2019

Antworten
Schau mal hier:

http//mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/74315/18109.html

mfG

Atlantik
Frage beantwortet
Froog

Froog

11:42 Uhr, 16.05.2019

Antworten
Danke
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

18:02 Uhr, 16.05.2019

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Klappt auch allgemein für das regelmäßige n-Eck mit beliebigem n3: Legen wir die Ecken dieses n-Ecks zum Startzeitpunkt 0 in die komplexen Zahlen

zk(0)=Rexp(2πkni) für k=0,1,,n-1,

(dabei ist R der Umkreisradius dieses n-Ecks), so hat das entstehende Differentialgleichungssystem

z.k=zk+1-zk für k=0,1,,n-1 (mit znz0)

die Lösung zk(t)=zk(0)exp(λt) mit λ:=exp(2πni)-1, davon kann man sich per Probe leicht überzeugen. D.h., mit wachsendem t bleibt das ganze ein regelmäßiges n-Eck, dessen Größe aber "schrumpft" und gleichzeitig um den Ursprung rotiert. Für t landen dann alle zk(t) im Ursprung 0.