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Maxima und Minima stetiger Funktionen
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Stetigkeit
Tags: Funktion, maxima, Minima, Satz, Stetigkeit
 
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Es gilt ja bekanntlich folgender Satz: "Eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt auf dem Intervall Maxima und Minima an." Kann ich also auch daraus schlussfolgern, dass wenn das Intervall nicht abgeschlossen ist, die Funktion in dem Intervall keine Maxima und Minima hat? . also speziell: halboffenes Intervall: keine Maxima & Minima, außer an einer Intervallsgrenze offenes Intervall: überhaupt keine Max. & Min. |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, das kannst du nicht daraus folgern, das ist schon zuviel. Die Funktion hat ja auf dem offenen Intervall ein Minimum, doch wegen des offenen Intervalls hat sie keine Maxima am linken und am rechten Rand. D.h. auf dem Intervall hat die obige Funktion drei Extrema. |
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Ahhh..das heißt also, der Satz sagt aus, dass es mind. ein Maximum UND mind. ein Minimum geben muss. ...und wenn ich dann . ein halboffenes Intervall habe, kann ich rein gar nichts mit dem Satz anfangen. Ist das so richtig? |
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Genau. Der Satz beschränkt sich ja auch nur auf abgeschlossene Intervalle. |
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okay...und dann ist mir noch folgende kleine Sache eingefallen: Wenn wir jetzt von deiner obigen Funktion ausgehen und als erstes Intervall nehmen, ist dann das Supremum (bzw. das Infimum)? Und bei dem offenen Intervall gibt es immer noch das gerade genannte Supremum? |
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Der Unterschied zwischen Supremum/Infimum und Maximum/Minimum ( es geht jetzt also um Mengen ) ist einfach das dass Supremum/Infimum nicht ein Element der Menge ( hier Wertebereich ) sein muss. D.h. also bei dem abgeschlossenen Intervall gilt: Maximum = Supremum = 1 und Minimum = Infimum = 0 Und beim offenen Intervall existiert ja kein Maximum, doch das Supremum schon, es hat natürlich auch hier den gleichen Wert und weiter gilt ja: Minimum = Infimum = 0 |
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Genauso hab ich mir das vorgestellt. Vielen Dank! :-) |
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