Startseite » Forum » Maximale Ideale - Kartesisches Produkt

Maximale Ideale - Kartesisches Produkt

Universität / Fachhochschule

21:07 Uhr, 02.07.2021

Hallo! Wie gehe ich vor, wenn ich die möglichen maxialen Ideale von 6Zx8Z bestimmen soll? Gruss

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

21:18 Uhr, 02.07.2021

Hallo,

meinst du eigentlich den Ring

Z_{6} \times Z_{8}

,
wobei

Z_{n} = ℤ / n ℤ

bedeutet?

Gruß ermanus

11:03 Uhr, 03.07.2021

Hallo,
seien

R_{1}, R_{2}

zwei kommutative Ringe mit Einselement.
Wir wüssten gern, wie die maximalen Ideale des Produktringes

R = R_{1} \times R_{2}

aussehen.
Sei

M

ein maximales Ideal in

R

, dann ist

M

insbesondere
auch ein Primideal.
Sei

(a, b) \in M

. Wegen

(a, b) = (a, 1) (1, b)

und

M

prim muss dann

(a, 1) \in M

oder

(1, b) \in M

gelten.
Betrachten wir den ersten Fall (der zweite geht dann anlog):
Da

M

ein Ideal ist folgt mit

(a, 1) \in M

und beliebigem

(r, s) \in R

(r, s) (a, 1) = (a r, s) \in M

, also

a R_{1} \times R_{2} \subseteq M

.
Analog gilt

R_{1} \times b R_{2} \subseteq M

im anderen Falle.
Hieraus kann man schließen, dass

M

entweder die
Gestalt

M_{1} \times R_{2}

oder

R_{1} \times M_{2}

hat mit
maximalen Idealen

M_{i} \subseteq R_{i} (i = 1, 2)

.

Gruß ermanus

16:01 Uhr, 03.07.2021

Danke! Das liegt schon mal gut… muss mir das nochmal in Ruhe anschauen…. Danke

1539127

1539086

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?