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Maximale Intervalle
Universität / Fachhochschule
Tags: maximalle Intervalle, monoton fallend, monoton steigend
 
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Hallo, Für folgende Funktion soll ich die maximalle Intervalle, auf denen monoton wachsend bzw. fallend ist bestimmen. (2x²-4x+2)/(x²+1) |
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Hast du Einfälle? Was hat die erste Ableitung mit der Monotonie zu tun? |
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die 1. ableiung sagt ja was über die steigung aus. heißt man leitet ab und berechnet die nullstellen...bin ich auf dem richtigen weg (2x²-4x+2)/(x²+1)=0 mal plus durch 4 Also ist an der Stelle 1 eine mögliche extremstelle. und nun... |
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Ja genau. Es kommt auf die erste Ableitung an. Da wo sie positiv ist, da steigt die Ursprungsfunktion und wo sie negativ ist fällt sie. Die Nullstellen sagen dir dann welche Intervalle du hast. Bei der Bestimmung der Ableitung ist es jedoch so, dass du die Ableitung vom ganzen Bruch bestimmen musst, zB mit der Qutientenregel. Es ist hier nicht mehr so wie eben beim l'Hoptial, dass man Zähler und Nenner getrennt ableitet. |
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ok. Also muss ich es über die Quotientenregel berechnen: ((4x-4)*(x²+1)-(2x²-4x+2)*(2x))/(x²+1))² ist das so richtig? muss ich nun auflösen...? |
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Vereinfache das bitte mal. Da kommt was recht kurzes raus. Aber nur den Zähler, da dieser bei der Nullstellenbetrachung am wichtigsten ist. |
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ich komm da nicht drauf...kannst du mir weiterhelfen?! |
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Multipliziere alles im Zähler aus und fasse zusammen. |
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also, (4x³+4x-4x²-4-4x³+8x-4x)/(x²+1)² (-4x²+8x-4)/(x²+1)² und nun...??? Stimmt das überhaupt was ich hier rechne?!? |
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Es muss heißen. |
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genau (-4x²-8x²-4)/(x²+1)² und nun |
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Jetzt schau dir die Nullstellen an. |
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jetzt die gleichung 0 setzten heißt (4x²-4)/(x²+1)²=0 mal ((x²+1)² 4x²-4 plus 4 4x² durch 4 x² dann Wurzel ziehen Richtig??? |
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Ja das stimmt. Jetzt kann du sagen was passiert wenn:
, die Ableitung ist ...., also .... die Funktion ,... ,... ist. |
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genau das verstehe ich nicht was muss ich den jetzt machen?? PS Du hast echt gedult mit mir RESPEKT an dich :-) |
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Betrachten wir mal das Intervall , also den Bereich zwischen den beiden Nullstellen. In diesem Intervall gilt , zB ist . Hoffe das ist klar. Da die Funtkion in diesem Intervall nur negative Funktionswerte hat, hat die Ursprungsfunktion in diesem Intervall an allen Stellen negative Steigung (oder Steigung 0) ist also monoton fallend. Für kannst du jetzt das gleiche machen, also schauen welche Vorzeichen die Funktionswerte von haben und dann noch für . |
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muss ich dann in die Ableitungsfunktion zb. 2 eintragen und ausrechnen, weil du ja gesagt hast Aber mit was vergleiche ich die Lösung??? Kannst du mir das ausrechnen damit ich das verstehe?! |
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Ja du kannst z.B. und nehmen. Berechne die Werte und schau dir das Vorzeichen an. Wenn der Wert positiv ist, steigt die Funkiton und fällt wenn er negativ ist.
Für werden die Werte positiv sein, genauso wie für . Also ist die Funktion in den beiden Bereichen monoton steigend, da die Ableitung da positiv ist. (Das alles kann man so machen, da die Funktion stetig ist.) |
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wenn ich jetzt 2 und einsetze kommt folgendes raus ok und mit welchem wert muss ich das vergleichen damit ich weis ob er steigt oder fällt. Muss ich das mit dem Ergebniss von null vergleichen?!?! |
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Da in nur quadratisch vorkommt, muss gelten.
Vergleichen musst du erstmal gar nicht. Du musst dir das Vorzeichen anschauen. Wenn die Ableitung negativ ist, fällt die Funtkion. Da die Ableitung im Intervall negativ ist, fällt die Funktion in diesem Intervall. Da die Ableitung für alle anderen positiv ist, steigt die Funtkion für diese . Also ergibt sich: , die Funktion ist monoton steigend , die Funktion ist monoton fallend , die Funktion ist monoton steigend. |
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ich kam mich bruchweise dran erinnern das ich früher die 2. Ableitung gebildet hatte und dort die Nullstellen eingesetzt hatte um so zu sehen ob es ein Vorzeichenwechsel gibt..Deshalb verwirrt mich das jetzt?!? Kannst du mir das nicht per Lösung zeigen in einzelnen Schritten? |
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Also die Lösung habe ich dir doch eben geschrieben.
-Bilde die erste Ableitung. -Bestimme der Nullstellen -Die Nullstellen sind die Stellen wo sich das Vorzeichen der Ableitung ändert. Auf den Intervallen auf denen sich das Vorzeichen nicht ändert ist die Funktion monoton, da die Steigung da das gleiche Vorzeichen hat. - Das Vorzeichen wechselt zweimal, einmal bei und einmal bei . Daraus ergeben sich die Intervalle . - Jetzt noch bestimmen in welchen der Intervalle die Funktion fällt oder steigt. - Hierzu bestimmt man z.B. , aus jedem Intervall eine Stelle. Es gilt dann . -Auf dem ersten und dritten Intervall ist die Ableitung positiv, damit steigt die Ursprungsfunktion auf diesem Intervall, ist also monoton steigend. Im zweiten Intervall ist die Funktion monoton fallend, da die Ableitung da negative Werte hat. |
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Achtung! Die maximalen Intervalle der Monotonie sind jedoch abgeschlossen (warum?), also und und |
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super ich danke dir.. |
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