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Maximaler Approximationsfehler

Universität / Fachhochschule

Tags: Approximation, Schmiegeparabel

Mathe--- aktiv_icon

18:26 Uhr, 03.02.2012

Hallo,

meine Aufgabe ist folgende:

Approximiert man eine Funktion

f

mit der Schmiegeparabel

P_{2} (x)

um den Entwicklungspunkt

α

auf einem Intervall

[a, b],

so kann der Approximationsfehler wie folgt abgeschätzt werden:

| f (x) - P_{2} (x) | \leq \frac{1}{6} max_{ξ \in [a, b]} | f''' (ξ) {(b - a)}^{3} |

Geben Sie die Schmiegeparabel und den maximalen Approximationsfehler für

i) f_{1} (x) = 2 x^{2} + 6 x + 1, α = 0,5, [a, b] = [- 10,10]

und

ii)

f_{2} (x) = x^{3} - x - 1, α = 0, [a, b] = [- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}]

Ich habe für beide Funktionen die Schmiegeparabel berechnet:

i)

P_{2} (x) = 2 x^{2} + 6 x + 1

ii)

P_{2} (x) = - x - 1

jetzt weiß ich nicht, wie ich den maximalen Approximationsfehler berechnen muss.
bei der

i)

ist der Fehler meiner Meinung nach

= 0,

da die Schmiegeparabel mit dem Graphen der Funktion identisch ist. Ich weiß aber nicht, ob man das so begründen kann.
Bei dem 2. weiß ich nichts..

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Vielen Dank im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

dapso aktiv_icon

18:37 Uhr, 03.02.2012

Also die beiden Approximationen sehen ganz gut aus. Mit der Fomel die du angegeben hast kannst du doch eine obere Schranke für den Fehler bestimmen. Wenn du bei der ersten Funktion die dritte Ableitung bildest, bekommst du die konstante Nullfunktion raus. Der Approximationsfehler ist also bei der ersten Funktion 0, genau das was du auch gesagt hats, da die beiden Funktionen identisch sind. Jetzt kannst du das mal bei der zweiten Funtkion machen. Bestimme zunächst die dritte Ableitung und schau dann mal weiter.

Mathe--- aktiv_icon

19:55 Uhr, 03.02.2012

Hallo,

erst einmal vielen Dank für die Antwort.

Ich habe die 3. Ableitung bei der ii) für

f''' (ξ)

eingesetzt:

| x^{3} - x - 1 - 8 - 1 - x) | \leq \frac{1}{6} | 6 {(\frac{1}{4} + \frac{1}{4})}^{3}

| x^{3} | \leq \frac{1}{8}

x \leq \frac{1}{2}

ist das so richtig??

dapso aktiv_icon

19:58 Uhr, 03.02.2012

Ja also die erste Zeile stimmt, der maximaler Fehler beträgt

0, 125

Mathe--- aktiv_icon

20:05 Uhr, 03.02.2012

\frac{1}{6} \cdot 6 {(\frac{1}{4} + \frac{1}{4})}^{3} = 0,125

muss ich also nur den 2. Teil berechnen, um den Approximationsfehler zu erhalten?

dapso aktiv_icon

20:07 Uhr, 03.02.2012

Ja, du musst nur die rechte Seite bestimmen, da dies die obere Schranke für den Fehler ist.

Mathe--- aktiv_icon

20:25 Uhr, 03.02.2012

ach so... vielen Dank.

und noch eine Zusatzfrage

muss ich den linken Teil berechnen, wenn nach dem minimalen Approximationsfehler gefragt wird?? Wäre das dann die untere Schranke??

vielen Dank

dapso aktiv_icon

20:34 Uhr, 03.02.2012

Mh, also was mit der Ungleichung bezweckt ist, hast du wohl noch nicht ganz verstanden.
Man hat eine Ursprungsfunktion

f

. Die nähert man durch ein Polynom

p

an. Jetzt möchte man wissen wie groß der Abstand zwischen den Funktionswerten der beiden Funktionen maximal werden kann. Genauer: Man schaut sich die Stelle

x_{0}

an. Bestimme

f (x_{0})

und

p (x_{0})

. Jetzt fragt man sich wie weit die Funktionen an der Stelle

x_{0}

höchstens auseinander liegen. Dafür kann man jetzt eine grobe Abschätzung angeben, nämlich die obige. Diese hängt dann sogar nicht mehr von einer bestimmen Stelle

x_{0}

ab, sondern gilt für alle

x

in dem Intervall. Also wird man normalerweise nur die Abschätzung ausrechnen. Wenn man so will ist eine untere Schranke für den Fehler 0, wenn die beiden Funktionen an der Stelle gleich sind, wie deine erste Funktion.

Mathe--- aktiv_icon

20:45 Uhr, 03.02.2012

Vielen Dank

!!!

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