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Maximaler Flächeninhalt eines gefalteten Papieres

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Danny81 aktiv_icon

08:10 Uhr, 08.03.2011

Hi Leute,

ich hab mal wieder eine tolle Aufgabe von unserem Prof. und hoffe das ihr mir dabei helfen könnt.
Ein rechteckiges Blatt Papier mit den Abmessungen a und

b = \sqrt{2} \cdot a

wird so gefaltet, daß die linke obere Ecke auf die Unterkante zu liegen kommt. Wo muss man falten

(d . h

. wie muss man

x

wählen), damit das linke untere Dreieck ABC maximalen Flächeninhalt besitzt?
Man soll den Flächeninhalt durch die Länge

x

ausdrücken und versuchen ohne die 2. Ableitung auszukommen.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist ja der Gesamtflächeninhalt des Papieres minus alle anderen übrig gebliebenen Flächen, außer dem gesuchten Dreieck natürlich.
Doch wie gebe ich den Flächeninhalt nur mit den gegeben Längen

a, b

und

x

an?

Gruss Danny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Atlantik aktiv_icon

08:36 Uhr, 08.03.2011

Hallo Danny,
die Länge der Hypothenuse des kleinen Dreiecks hilft.
Ich habe für die eine Kathete die Länge

u

und für die andre den Wert

v

eingesetzt.

mfG

Atlantik

Gerd30.1 aktiv_icon

08:44 Uhr, 08.03.2011

Schau dir mal die erweiterte Zeichnung an!
Zielfunktion:

A (x, y) = (a - x) \cdot y

Nebenbedingung:

{(a \cdot \sqrt{2} - y)}^{2} = {(a - x)}^{2} - x^{2}

Atlantik aktiv_icon

09:26 Uhr, 08.03.2011

Hallo,
es wird das linke untere Dreieck als maximale Fläche gesucht.

(a - x) \cdot y

ist die Rechteckfläche, die oberhalb des gesuchten Dreiecks liegt.

mfG

Atlantik

Bummerang

09:35 Uhr, 08.03.2011

Hallo,

"Zielfunktion: A(x,y)=(a−x)⋅y ist eine Rechteckfläche und keine Dreiecksfläche."

Das ist richtig und es ist didaktisch unklug die

\frac{1}{2}

als Faktor davor wegzulassen, aber wenn man die Funktion

(a - x) \cdot y

nach der Substitution von

y

durch einen Term in

x

ableitet, dann kommt das "doppelte" von dem raus, was man bei

\frac{1}{2} \cdot (a - x) \cdot y

erhält. Setzt man beide Ableitungen Null, fällt bei der letzteren zuerst der Faktor

\frac{1}{2}

weg und plötzlich steht das selbe da, wie bei der ersteren Version. Wer den Überblick hat, kann (und wird) die

\frac{1}{2}

von vornherein weglassen, wer den Überblick nicht hat, sollte es nicht gleich tun. Da die Fragesteller hier

i . d . R

. keine Profis sind, ist es besser, auf die

\frac{1}{2}

in der Antwort nicht zu verzichten, insofern hast Du Atlantik recht, aber der Ansatz von gerdware führt trotzdem, von Rechenfehlern abgesehen, zum richtigen Ergebnis.

Danny81 aktiv_icon

09:41 Uhr, 08.03.2011

Hi,

Vielen Dank erstmal für eure schnelle Antwort.
So ganz klar ist mir das aber noch nicht.
Bei deiner Zielfunktion wird doch das obere linke Rechteck beschrieben, oder?
Kann ich für die AB Seite des Dreiecks die Länge

\sqrt{2} \cdot a - y

annehmen? So weit war ich nämlich auch schon, doch mein Praxisversuch hat mich etwas anderes gelehrt :-)
Die Nebenbedingung ist mir auch nicht ganz klar.
Wenn ich folgendermaßen vorgehe (von links nach rechts):
Fläche des umgefalteten Dreiecks:

A 1 = \frac{1}{2} \cdot ((a - x) \cdot y)

Fläche des danebenliegenden Dreiecks:

A 2 = \frac{1}{2} \cdot (a \cdot (\sqrt{y^{2} - a^{2}})

Fläche des rechten Rechtecks:

A 2 = ((\sqrt{2} \cdot a - y) \cdot a)

Und jetzt ziehe ich das ganze von der Gesamtfläche ab, oder denke ich da viel zu umständlich? Vorallem ist mir das

y

nicht bekannt, wie verarbeite ich das weiter zu

x

Atlantik aktiv_icon

10:01 Uhr, 08.03.2011

Hallo,
ich habe als Hauptbedingung:

A (u; v) = u \cdot \frac{v}{2},

wobei

u =

die Strecke AC und

v

die Strecke AB ist.

Da nun die Strecke BC gleich lang ist wie das Stück zur linken oberen Ecke, nämlich

b - u,

kann man nun die Nebenbedingung aufstellen:

(BC)^2=(AC)^2+(AB)^2

{(b - u)}^{2} = u^{2} + v^{2}

Das kann man jetzt nach

v

auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen.

A (u) = ... . .

.
A´(u)=0

u . s . w

.

mfG

Atlantik

Danny81 aktiv_icon

10:50 Uhr, 08.03.2011

Hi,

Hauptbedingung ist klar.
Die Nebenbedingung ist auch klar, aber wieso ist das Stück BC gleich

b - u

? Du meinst

a - u,

die kürzere Seite des Rechtecks, oder?
Die Nebenbedinung lautet dann:

{(a - u)}^{2} = u^{2} + v^{2}

a^{2} - 2 a u + u^{2} = u^{2} + v^{2}

v = \sqrt{a^{2} - 2 a u}

Hauptbedingung:

A = \frac{1}{2} \cdot u \cdot \sqrt{a^{2} - 2 a u}

Mein A´ ist somit
(1/2)´

\cdot x \cdot \sqrt{a^{2} - 2 a u} + (\frac{1}{2}) \cdot

x´*

\sqrt{a^{2} - 2 a u} + (\frac{1}{2}) \cdot x \cdot (\sqrt{a^{2} - 2 a u})

´
Dabei bleibt nur der mittlere Term übrig da die 2 "äußeren" abgeleitet 0 ergeben.

A´=

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^{2} - 2 a u}

liege ich da richtig? Die Kurzlösung von unserem Prof. sagt

A = \frac{a^{2}}{6 \sqrt{3}}

Danke für deine Geduld und Antwort

Gruss Danny

DmitriJakov aktiv_icon

10:54 Uhr, 08.03.2011

Die Relevanz von

b

oder

y

ist mir absolut schleierhaft, denn

m . E

. ist

b

nur zur Verwirrung mit angegeben.

Das linke untere Dreieck hat folgende Abmessungen:
Höhe:

x

Hypothenuse:

a - x

Grundlinie AB:

\sqrt{{(a - x)}^{2} - x^{2}} = \sqrt{a^{2} - 2 a x + x^{2} - x^{2}} = \sqrt{a^{2} - 2 a x}

Fläche=

\frac{1}{2} \cdot

Grundlinie

\cdot

Höhe

A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^{2} - 2 a x} \cdot x = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} x^{2} - 2 a x^{3}}

A' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a^{2} x^{2} - 2 a x^{3}}} \cdot (2 a^{2} x - 6 a x^{2}) = 0

\frac{2 x (a^{2} - 3 a x)}{2 x (\sqrt{a^{2} - 2 a x})} = 0

\frac{(a^{2} - 3 a x)}{\sqrt{a^{2} - 2 a x}} = 0

\to a^{2} - 3 a x = 0 \to a - 3 x = 0 \to x = \frac{1}{3} \cdot a

Atlantik aktiv_icon

11:05 Uhr, 08.03.2011

Hallo Danny,

die Ableitung von Wurzelfunktionen sind mir leider nicht geläufig.

Mir kam es jetzt bei meinen Antworten nur auf die Vorgehensweise an,wie man zur Lösung kommen kann.

Alles Gute

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

11:17 Uhr, 08.03.2011

Hallo Danny,

in meinen Überlegungen war a die längere Seite und

b

die kürzere Seite des Rechtecks, und darum ist bei mir die Hypothenuse des kleinen Dreiecks auch

b - u

.

Ich habe jetzt aber nochmal in der Ausgangszeichnung geschaut, da war es umgekehrt.

Alles Gute

Atlantik

Danny81 aktiv_icon

11:18 Uhr, 08.03.2011

Hi DmitriJakov,

Vielen Dank für deine verständliche Antwort!
Eine Frage noch:
Bei der Berechnung des Flächeninhaltes oben, wie kommst du bei der Multiplikation von Höhe

x

und Grundline AB auf

\sqrt{a^{2} x^{2} - 2 a x^{3}}

?

Nochmals Vielen Dank und Gruß

DmitriJakov aktiv_icon

11:22 Uhr, 08.03.2011

Ich knabber gerade noch dran warum Grundlinie und Höhe nicht gleich groß sind. Muss jetzt aber für ca. eine Stunde Pause einlegen. Melde mich danach wieder.

Danny81 aktiv_icon

11:24 Uhr, 08.03.2011

Deine Lösung stimmt, meine Kurzlösung hier sagt das gleiche.
Mein Grundgedanke war aber auch, daß die 2 Seiten gleich Groß sein müssten.

Atlantik aktiv_icon

11:35 Uhr, 08.03.2011

Hallo Danny,
Die Hauptbedingung heißt:

A=1/2*u⋅

\sqrt{}

(a^2−2*a*u)

Wenn man nun

u = x

setzt und das

x

unter die Wurzel bringt, bekommt man

A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{}

(a^2*x^2−2*a*x^3)

Alles Gute

Atlantik

Danny81 aktiv_icon

11:41 Uhr, 08.03.2011

Hi Atlantik,

okay, ichs habs, da man es unter die Wurzel packt muss man es als quadrat nehmen, danke.

Danny81 aktiv_icon

11:58 Uhr, 08.03.2011

Hi DmitriJakov,

ich bin deine Ableitung nochmal durchgegangen, und bin auf folgendes gekommen:

\frac{1}{2} {(a^{2} x^{2} - 2 a x^{3})}^{\frac{1}{2}}

als Ableitung ergibt sich dann folgendes:

\frac{1}{4} {(a^{2} x^{2} - 2 a x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 a^{2} x - 6 a x^{2})

= \frac{1}{4} \cdot \frac{2 a^{2} x - 6 a x^{2}}{\sqrt{a^{2} x^{2} - 2 a x^{3}}} = \frac{2 x (a^{2} - 3 a x)}{4 x (a^{2} x - 2 a x^{2})}

= \frac{a^{2} - 3 a x}{2 \sqrt{a^{2} - 2 a x^{2}}}

Wir haben erst angefangen mit der Differenzialrechnung, ich will dich hiermit auf keinenfall korrigieren oder den Besserwisser spielen, möchte bloß Fragen ob das so wie ich das jetzt gemacht habe richtig ist, oder dein Weg? Die Lösung ist ja dieselbe.

DmitriJakov aktiv_icon

12:25 Uhr, 08.03.2011

Stimmt, bei der Ableitung muss der Faktor vor dem Bruch

\frac{1}{4}

werden, das habe ich unterschlagen. Deine erste Zeile passt somit.

In der 2. Zeile ziehst Du im Nenner

x

aus der Wurzel heraus. Dabei ist Dir ein Feheler unterlaufen. Ich zeige jetzt mal nur den Nenner:

4 \sqrt{a^{2} x^{2} - 2 a x^{3}} =

= 4 \sqrt{x^{2} (a^{2} - 2 a x)}

= 4 \sqrt{x^{2}} \sqrt{(a^{2} - 2 a x)}

= 4 x \sqrt{(a^{2} - 2 a x)}

Damit wird der gesamte Bruch:

\frac{2 x (a^{2} - 3 a x)}{4 x \sqrt{a^{2} - 2 a x}} = \frac{a^{2} - 3 a x}{2 \sqrt{a^{2} - 2 a x}}

Danny81 aktiv_icon

15:47 Uhr, 08.03.2011

Stimmt, das differenzieren muss man glaube ich bis aufs Blut üben...
Danke dir !

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