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Maximales Intervall beim Newton-Verfahren

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Newton-Verfahren

mathe-mitch aktiv_icon

15:53 Uhr, 10.12.2014

Hallo,

c \in ℝ^{+},

f : ℝ^{+} \to ℝ, f (x) = c - \frac{1}{x^{2}}

.

Die Nullstelle von

f

ist

p = \frac{1}{\sqrt{c}}

soll approximiert werden.

Nun müssen wir das maximale Intervall (a,b)bestimmen

, s . d

. die Newton-Iteration für jeden Startwert

x^{0} \in (a, b)

gegen

p

konvergiert.

Die Näherungsfunktion lautet:

Φ := \frac{x}{2} \cdot (3 - c \cdot x^{2})

und es gilt

Φ (x^{0}) = x^{1}, Φ (x^{1}) = x^{2}

und so weiter, man nähert sich halt dem

p

mit diesen Tangenten an.

[

Haben hinweis bekommen: Mittelwertsatz den Diff.rechnung; mit einem von

x^{0} \in (a, b)

abhängigem

σ < 1

kann man zeigen :

| x^{m} - p | < σ^{m} \cdot | x^{0} - p |

für alle

m \in ℕ

.

Das ist ja schön und gut, aber was mache ich damit, denn wenn

σ

von

x^{0}

abhängen soll und

x^{0} \in (a, b)

ist, aber das

(a, b)

muss ich ja eigentlich bestimmen.

]

habe bisschen recherchiert und herausgefunden, dass man eigentlich die

x \in ℝ^{+}

finden soll, für die

| \frac{d Φ}{d (x)} | < 1

gilt. Mir fehlt aber ein Argumen warum das so ist, ist der Hinweiss vll dafür gedacht?

Wenn ich mir die Funktion

Φ

graphisch betrachte müsste

(a, b) = (0,

irgendwo im Bereich von

\frac{1}{\sqrt{a}})

sein.

Wenn ich aber

| \frac{d Φ}{d (x)} | < 1

nachrechne, kommt

x \in (\frac{1}{\sqrt{3 \cdot a}}, \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3 \cdot a}})

.

Was mache ich falsch?

Vielen Dank im Voraus
Gruß Michael

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Newton-Verfahren

ledum aktiv_icon

17:51 Uhr, 10.12.2014

Hallo
1. dein Intervall ist richtig, hast du denn

Φ'

geplottet?
2. den MWS brauchst du um das mit der Ableitung

< 1

zu begründen

f (a) - f (b) = f' (ξ) (a - b) ξ \in (a . b)

angewendet auf

x 1, p

usw gibt deine Ergebnis wenn

f' < 1

ist das dein

σ

Gruß ledum

mathe-mitch aktiv_icon

23:59 Uhr, 10.12.2014

Ich habe eigentlich nur die

Φ

mit wolfram-alpha zeichnen lassen und eher geraten, dass es

(0, \frac{1}{\sqrt{3}})

sein sollte :-D)
Aber schön, dass es rechnerisch genauer hinhaut.
Eine Nachfrage: Ist das Intervall I

= (\frac{1}{3 \cdot \sqrt{a}}, \sqrt{\frac{5}{3 a}})

automatisch das geforderte, und wenn ja warum?
Oder kann es ein

J \subset I

geben,

s . d

für alle

x \in J

das Newton-Verfahren konvergiert, aber für gewisse

x \in I \ J

doch nicht konvergent ist?

Mit Grüßen
Michael

ledum aktiv_icon

01:04 Uhr, 11.12.2014

Du hast doch im ganzen Intervall

Φ' < 1 d, h,

bei jeder Iteration rückst du näher, wenn

Φ'

nahe an die 1 rückt, geht es nur langsamer.
eigentlich hast du mit dem Newtonverfahren eine Fixpunktiteration,

d . h

. du suchst den Punkt

x

so dass

x = φ (x)

ist.
in wiki findest du dazu ein Bildchen in dem Thema Fixpunktiteration, de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration, mach das mal auch für ein

Φ

mit steigung

> 1,

dann siehst du, warum es dann nicht geht.
Gruß ledum

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