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Maximales Volumen im Zylinder

Universität / Fachhochschule

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Tags: Analysis, Funktion, Geometrie, maximales Volumen

Julzn aktiv_icon

00:08 Uhr, 28.01.2011

Hallo ich bin neu hier und gerade am verzweifeln... diese Aufgabe macht mich noch wahnsinnig:-) Ich weiß gar nicht ob ich sie richtig eingeordnet habe...

also Folgene Aufgabe:

Ein Zylinder mit Boden und Deckel soll bei einem gegebenen Materialverbrauch (Oberfläche

A = 10)

ein möglichst großes Volumen einschließen. Berechnen sie den optimalen Radius

r,

die optimale Höhe

h

und das daraus resultierende Volumen.

So mein "Lösungsansatz"...also der ist nicht wirklich vorhanden. Das einzige was ich hab ist

Oberfläche

A =

2*(r^2*π)+(2r*π*h)=10

V=r^2*π*h

Wenn ich jetzt noch ein bisschen rumschubse komme ich auf

A =

r^2+h=5/π

allerdings weiß ich nicht was ich damit anfangen kann und wie ich auf das maximale Volumen komme!

Bitte helft mir!

Schöne grüße Julzn

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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00:20 Uhr, 28.01.2011

sieht schon mal gut aus... du kannst die formel fuer die oberflaeche nach

h

umstellen. dann ersetzt du damit das

h

in der volumenformel. dann haengt dein volumen nur noch vom radius ab.

um jetzt das maximale volumen zu finden musst du die gefundene volumenformel nach

r

ableiten und gleich null setzen (bedingung fuer ein maximum). dann hast du das optimale

r

. das in die anfaengliche oberflaechenformel einsetzen und

h

berechnen. dann mit

h

und

r

das letztendliche volumen berechnen.

lg

Julzn aktiv_icon

19:20 Uhr, 28.01.2011

Danke, das macht schonmal Sinn!

Allerdings bekomme ich immer noch nicht das richtige ergebnis hin

\frac{:}{}

als ergebnis ist unten am Blatt angegeben:
r=Wurzen(5/3pi)

h = 2 r

V=10/3*Wurzel(5/3pi)

das bekomm ich aber nicht raus...
ich rechne

V = r^{2} \cdot π - (\frac{5}{π} - r^{2})

V=5r^2-r^4pi

Ableitung:
V´=10r-4^3pi=0
10r=4^3pi

10 = π 4 \frac{r^{3}}{r}

r=Wurzel(10/4pi)

dementsprechend sind die andern ergebnisse dann auch falsch...

Danke nochmals,
schönen Abend

lg

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19:32 Uhr, 28.01.2011

2 \cdot (r^{2} \cdot π) + (2 r \cdot π \cdot h) = 10

2 r \cdot π \cdot h = 10 - 2 \cdot (r^{2} \cdot π)

h = \frac{10}{2 r \cdot π} - 2 \cdot \frac{r^{2} \cdot π}{2 r \cdot π}

h = \frac{10}{2 r \cdot π} - r

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

V = r^{2} \cdot π \cdot h

V = r^{2} \cdot π \cdot (\frac{10}{2 r \cdot π} - r)

V = r^{2} \cdot π \cdot \frac{10}{2 r \cdot π} - r^{2} \cdot π \cdot r

V = 5 r - r^{3} π

V' = 5 - 3 r^{2} π = 0

5 = 3 r^{2} π

\frac{5}{3 π} = r^{2}

\sqrt{(\frac{5}{3 π})} = r

Julzn aktiv_icon

19:35 Uhr, 28.01.2011

Mist ich hab ja die

10

ganz vergessen...

CKims aktiv_icon

19:36 Uhr, 28.01.2011

hauptsache du hast das prinzip verstanden^^

Julzn aktiv_icon

19:37 Uhr, 28.01.2011

Vielen Dank nochmal!

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