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Maximum-Likelihood-Methode

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Erwartungswert, likelihoodfunktion, Normalverteilung, Schätzfunktion, Streuung, Verteilung

Giraffe aktiv_icon

21:36 Uhr, 11.09.2011

Hallo.

Ich habe Probleme den Lösungsansatz bzw. die gesamte Lösung zu einer aus meiner Sicht schwierigen Übungsaufgabe zu finden. Hier erst einmal die Aufgabe:

„Trotz des verwandelten Elfmeters hat Eigentor

07

das Spiel haushoch verloren. Im ersten Training danach ordnet der Trainer daher Torschusstraining an. Hierfür stellt er einen Holzpfosten auf, den die Stürmer aus

11

Meter Entfernung treffen sollen. Die folgende Tabelle gibt die Ergebnisse eines der Spieler an, dessen Namen wir hier aus Gründen des Persönlichkeitsschutzes verschweigen wollen.
Die Tabelle zeigt die Ergebnisse von

10

Schussversuchen; eine positive Zahl

x

bedeutet: das Ziel um

x

Meter nach rechts verfehlt, eine negative Zahl entsprechend nach links. Das Ergebnis 0 bedeutet: Ziel getroffen.

Versuch Nr.:1

\to

Abweichung:3
Versuch Nr.:2

\to

Abweichung:-1
Versuch Nr.:3

\to

Abweichung:0
Versuch Nr.:4

\to

Abweichung:5
Versuch Nr.:5

\to

Abweichung:1
Versuch Nr.:6

\to

Abweichung:-2
Versuch Nr.:7

\to

Abweichung:-7
Versuch Nr.:8

\to

Abweichung:0
Versuch Nr.:9

\to

Abweichung:1
Versuch Nr.:10

\to

Abweichung:-1

Die Ergebnisse können als Werte einer normalverteilten Zufallsgröße angesehen werden. Bestimmen Sie mithilfe der Maximum-Likelihood-Methode eine Schätzung für Erwartungswert und Streuung dieser Verteilung.“

Lösungsansatz:

Die Likelihood-Funktion muss auf jeden Fall differenziert werden, dass ist mir klar:
d/dϑ

\cdot ln

L(x1,…xn;ϑ)=0
Dann ersetzt man die der Lösung der Likelihood-Gleichung die Werte

ξ

der konkreten Stichprobe durch die zugehörigen Stichprobenvariablen

Ξ (

i=1,…,n

),

so gelangt man zu einer Schätzung ϑn=φ(X1,…,Xn). Das stellt dann die Maximum-Likelihood-Schätzung für ϑ dar.

Bei den Werten handelt es sich um eine normalverteilte Zufallsgröße.

D . h

. ich muss die Parameter μ und σ^2 verwenden.

Jetzt weiß ich allerdings nicht, was sich für die Likelihood-Funktion ergibt und wie ich die Likelihood-Gleichung aufstellen soll/kann. Und schon gar nicht, wie ich auf den Erwartungswert und die Streuung dieser Gleichung komme. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mauthagoras aktiv_icon

22:15 Uhr, 11.09.2011

Hallo!

Die Likelihood- Funktion ist die Dichtefunktion

f (μ, σ^{2})

selbst oder

\ln (f (μ, σ^{2}))

. Da hier 10 unabhängige identisch verteile Zufallsvariablen betrachtet werden, heißt das, dass Du hier die Funktion

L (μ, σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{10} \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - μ)^{2})

oder einfachheithalber den Logarithmus davon einmal in Richtung

μ

und einmal in Richtung

σ^{2}

ableiten und gleich 0 setzen musst.
Wenn Du Probleme bei der konkreten Berechnung hast, sag ruhig Bescheid, auf jeden Fall muss letztlich rauskommen:

μ = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} x_{i}

;

σ^{2} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - μ)^{2}

, also wie es sich sowieso gehört…

Diese beiden kannst Du dann mit Deiner Datenreihe ausrechnen, was die konkrete Schätzung

N (μ, σ^{2})

für die gesuchte Verteilung ergibt.

Giraffe aktiv_icon

08:33 Uhr, 12.09.2011

Ja, ich habe wirklich Probleme bei der konkreten Berechnung. Kannst du das ausführlich darstellen? Das Ableiten sollte ich wohl mal wieder üben......

Und wie genau müsste dann die Berechnung mit der Datenreihe aussehen, damit ich die konkrete Schätzung erhalte?

Mauthagoras aktiv_icon

21:58 Uhr, 12.09.2011

Hallo,

ich hoffe, dass es jetzt nicht zu spät ist…

Zunächst lässt sich

L

mit den Logarithmusgesetzen umschreiben zu

L (μ, σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}})}^{10} \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - μ)^{2} - 5 \ln (σ^{2})) .

Da, wie gesagt, die Funktion „

\ln

“ konkav ist und der positive Vorfaktor beim minimieren bzw. maximieren keinen Beitrag leistet, können wir o.B.d.A einfach die Funktion

\bar{L} (μ, σ^{2}) := - \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - μ)^{2} - 5 \ln (σ^{2})

betrachten.

Zunächst minimieren wir bzgl.

μ

: Es gilt

\frac{\partial \bar{L}}{\partial μ} (μ, σ^{2}) = \frac{1}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - μ) = \frac{1}{σ^{2}} (\sum_{i = 1}^{10} x_{i} - 10 μ) \overset{!}{=} 0 \overset{}{\Rightarrow} μ = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} x_{i} .

So kommt man auf

μ

. Der Schätzer besteht also darin, dass Du jetzt einfach den Durchschnitt dieser 10 Zahlen ausrechnest. (Bei mir kommt

- \frac{1}{10}

raus.)
Der Nachweis mit der zweiten Ableitung ist hier sozusagen trivial.

Möchtest Du es jetzt erstmal selbst mit

σ^{2}

versuchen? Lass’ Dich dabei nicht von dem Quadrat verwirren, sondern sehe das wirklich als eine Variable an – substituiere vielleicht direkt

x := σ^{2}

Giraffe aktiv_icon

19:33 Uhr, 13.09.2011

Nein, nein, ist noch nicht zu spät, habe noch ne gute Woche Zeit :-)

Ich versuch es erstmal weiter, aber schonmal vielen Dank für deine Hilfe!!!
Hat mich schon um Längen weitergebracht!!

Giraffe aktiv_icon

15:44 Uhr, 14.09.2011

Also, hab es jetzt so gemacht:

\frac{\partial^{2} ln L}{\partial σ^{2}} = \frac{n}{2 σ^{2}} + \frac{1}{{((2 σ^{2}))}^{2}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x i - \bar{x} n)}^{2} = 0

σ^{2} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x i - \bar{x} n)}^{2}

Und für

σ^{2}

komme ich dann (wenn ich mich nicht verrechnet habe) auf

9,09

für die Streuung. Stimmt das??

Mauthagoras aktiv_icon

18:43 Uhr, 14.09.2011

Hallo,

ja, sieht gut aus. Aber vor dem ersten Summanden steht ein Minus (in Deiner Lösung ist das auch beachtet…) und anstatt

\bar{x} n

reicht

\bar{x}

(es sei denn, das ist Eure Schreibweise?!).

Dieses Ergebnis habe ich auch!

Dementsprechend ergab die Maximum- Likelihood- Schätzung, dass die Verteilung

N (- \frac{1}{10}, 9.09)

vorliegen könnte.

Wenn Du das abgeben oder vortragen musst, vergiss aber nicht den Nachweis der Maxima mit den zweiten Ableitungen.

Gruß Mauthagoras

Giraffe aktiv_icon

19:45 Uhr, 14.09.2011

Ja, das mach ich dann noch, das wird alles genau aufgeschrieben ;-)

Nochmals viele Dank für deine Hilfe!!! :-)

yxcvbn aktiv_icon

19:13 Uhr, 09.11.2011

hallo,

der durchschnitt der zehn zahlen ist

- \frac{1}{10}

wie rechnest du das mit der Formel von μ aus?

und wie kommt man auf

9.09

mit

der Formel von σ2

wie lautet die zweiten ableitungn? )

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