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Maximum-Likelihood Schätzer bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: dicht, MLE-Schätzer

Iamanonym1

14:08 Uhr, 09.03.2023

Hallo Leute,

ich habe eine Aufgabe leider nicht ganz so verstanden.

Es geht darum, das ich die Dichte

e^{x - v} 1_{(- \infty, v]} (x)

gegeben habe.
Dabei ist

x_{1}, . . ., x_{n}

i.i.d. und v unbekannt.

Ich soll jetzt den Maximum-Likelihood- Schätzer für v bestimmen.

Ich komme aber auf das Ergebnis -n = 0.

Ich kann mal erklären, was ich gerechnet habe:

Zuerst habe ich natürlich den Likelhood berechnet:

L (v) = \prod_{i = 1}^{n} e^{x - v} 1_{(- \infty, v]} (x) = e^{- n v} * e^{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}

(habe den exponenten umgeschrieben in -v + x)

Dann den log Likelihood:

l (v) = - n v + \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

Und wenn man das jetzt nach v ableitet, folgt:
-n = 0

Muss ich mir die Randwerte anschauen? Wenn ja, wie?
Oder muss ich etwas bei der Indikatorfunktion beachten?

Ich wäre wirklich für jede Hilfe sehr sehr dankbar!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

14:24 Uhr, 09.03.2023

Die tatsächliche Likelihoodfunktion lautet bei Stichprobe

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

L (v) = \prod_{i = 1}^{n} [e^{x_{i} - v} \cdot 1_{(- \infty, v]} (x_{i})] \overset{!}{=} e^{- n v + \sum_{i = 1}^{n} x_{i}} \cdot 1_{(- \infty, v]} (max_{i = 1, \dots, n} x_{i})

Hier muss man gar nichts ableiten: Man sieht, dass

e^{- n v}

umso größer wird, je kleiner man

v

wählt. Wenn man allerdings

v < max_{i = 1, \dots, n} x_{i}

wählt, dann wird der Indikatorfunktionswert gleich Null, und damit auch die Likelihoodfunktion. D.h., das Maximum wird für

v = max_{i = 1, \dots, n} x_{i}

erreicht, und das ist dann auch der ML-Schätzer.

Iamanonym1

14:29 Uhr, 09.03.2023

Alles klar. Vielen Dank!

Die Dichte die vorgegeben war, war die Dichte von x1. Ich solle jetzt die Dichte vom MLE Schätzer v_n bestimmen.
Der MLE Schätzer maximiert. Muss ich für die Dichte die Extremstelle berechnen?

HAL9000

14:40 Uhr, 09.03.2023

Kannst du dich mal etwas deutlicher ausdrücken? Deine Kurzsätze wie "Der MLE Schätzer maximiert." überfordern mich.

Iamanonym1

14:43 Uhr, 09.03.2023

Sorry.

Also die Dichte die vorgegeben war, ist die Dichte von

x_{1}

.
Ich sollte als erstes den MLE Schätzer

v_{n}

für v bestimmten. Und der lautet

v_{n} (x) = m a x

x

Ich soll nun die Dichte von

v_{n} (x)

berechnen.

Ich weiß, dass der MLE Schätzer die Maximum-Likelihood-Funktion maximiert. Muss ich eventuell den Maximum berechnen?

HAL9000

15:05 Uhr, 09.03.2023

Bevor wir mit der Rechnung anfangen, solltest du dir im Klaren sein, was hier abläuft bzw. was von dir erwartet wird. Es hat nämlich den Anschein, als fehlt es dir an der nötigen Grundorientierung, und du irrst ein wenig im Nebel rum... Daher ein Versuch einer "Erdung":

1) Es geht um eine mathematische Stichprobe

X_{1}, \dots, X_{n}

, das sind unabhängig identisch verteilte Zufallsgrößen gemäß deiner zu Beginn angegebenen Dichte, wobei deren Parameter

v

unbekannt ist.

2) Daraus haben wir oben den ML-Schätzer

V_{n} = max_{i = 1, \dots, n} X_{i}

konstruiert. Auch das ist eine Zufallsgröße, deren Verteilung ebenfalls wieder von Parameter

v

abhängt.

3) Zu bestimmen ist nun die Dichtefunktion

f_{V_{n}}

dieser Zufallsgröße.

Vor der Dichtefunktion widmen wir uns der zugehörigen Verteilungsfunktion dieses Maximums von Zufallsgrößen:

F_{V_{n}} (t) = P (V_{n} \leq t) \overset{!}{=} P (X_{1} \leq t, \dots, X_{n} \leq t) \overset{U}{=} \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} \leq t) = {(F (t))}^{n}

.

Dabei ist

F

die Verteilungsfunktion deiner Grundgesamtheit, d.h.

F (t) = \int_{- \infty}^{t} e^{x - v} \cdot 1_{(- \infty, v]} (x) d x = {\begin{array}{ll} e^{t - v} & für t \leq v \\ 1 & für t > v \end{array}

Damit bekommen wir entsprechend auch Verteilungsfunktion

F_{V_{n}} (t) = {\begin{array}{ll} e^{n (t - v)} & für t \leq v \\ 1 & für t > v \end{array}

,

sowie die Dichte als Ableitung nach

t

f_{V_{n}} (t) = {\begin{array}{ll} n e^{n (t - v)} & für t \leq v \\ 0 & für t > v \end{array}

.

Wie gesagt, das alles ist abhängig vom tatsächlichen Verteilungsparameter

v

der Grundgesamtheit.

Iamanonym1

15:30 Uhr, 09.03.2023

Ich danke dir ganz herzlich.

Iamanonym1

14:56 Uhr, 10.03.2023

Hey,

ich danke dir echt für deine Mühe und deine Hilfe. Ich hab jetzt noch eine kleine Frage.

Ich soll zeigen, dass die Folge

(v_{n} (x))_{n \in N}

asymptotisch unverzerrt ist.

Ich kenne die Formel für asymptotische Unversehrtheit:

l i m_{k \to \infty}

E_{v} (T_{k}) = v

.

Ich weiß, das ich eine Funktion dafür integrieren muss. Nehme ich jetzt dafür die Dichtefunktion oder die Verteilungsfunktion?

Und nachdem ich die Funktion integriert habe, schaue ich was für den Limes

k \to \infty

passiert.

HAL9000

15:16 Uhr, 10.03.2023

Dein Schätzer heißt nicht

T_{k}

, sondern

V_{n}

. Warum passt du sowas nicht an, bevor du postest - diese "wilde" zusammenhanglose Symbolwahl in ein- und demselben Beitrag ist überaus ärgerlich. :(

Ok, es geht hier also um den Nachweis

lim_{n \to \infty} E (V_{n}) = v

. Erwartungswertoperator

E

bezieht sich natürlich auf den Grundgesamtheitsparameter

v

, da könnte man natürlich auch stattdessen

E_{v}

schreiben. Aber da hätte ich konsistenterweise oben auch überall

P_{v}

für das W-Maß schreiben müssen statt nur

P

...

Na berechne doch diesen Erwartungswert, das ist

E (V_{n}) = \int_{- \infty}^{\infty} t \cdot f_{V_{n}} (t) d t = \int_{- \infty}^{v} t \cdot n e^{n (t - v)} d t = ?

Iamanonym1

15:26 Uhr, 10.03.2023

= \frac{n v - 1}{n} = v - \frac{1}{n}

Und für

l i m_{n \to \infty}

v - \frac{1}{n} = v

Damit hat man die asymptotische Unverzerrtheit gezeigt.

HAL9000

16:17 Uhr, 10.03.2023

Richtig.

Iamanonym1

17:26 Uhr, 10.03.2023

VIelen lieben Dank!!

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