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Maximum Norm

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Student8 aktiv_icon

01:08 Uhr, 23.06.2010

Ich hätte mal eine Frage zur Maximum Norm. Ich hoffe mir kann jemand die Frage beantworten. Aus welchem Grund sehen die offenen Kugeln bei der Maximumnorm eigentlich eckig aus?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

el holgazán aktiv_icon

02:20 Uhr, 23.06.2010

Das kommt aus der Definition einer Kugel bzw eines Kreises:
Ein Kreis sind die Punkte auf der Ebene, die vom Mittelpunkt alle den gleichen Abstand haben.

Nun ist natürlich die Frage was man meint, wenn man "Abstand" sagt.
Benutzt man den normalen euklid'schen Abstand, also

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

, kommt der gewohnte Kreis dabei raus.
Man kann aber natürlich beliebige Abstandbegriffe benutzen - wie zum Beispiel die Maximums-Norm.
Ich werde jetzt mal nur über den Kreisrand sprechen - nicht über den Vollkreis, da es das ganze ein wenig einfacher macht.
Und nun gilt eben, dass der Einheits-Kreis für die Maximumsnorm also alle diese Punkte sind, die vom Mittelpunkt (0,0) den Maximums-Abstand 1 haben.

Nun ist aber der Punkt

(1, 0)

vom Mittelpunkt gleich weit entfernt wie der Punkt

(1, 1)

(beide haben Norm 1) - also sind beide auf dem Kreisrand. Das ist natürlich Schwachsinn, wenn man den gewohnten Abstandbegriff benutzt, aber für die Maximumsnorm stimmt das.

Ich hoff' es ist dir jetzt ein wenig klarer ;-)

Student8 aktiv_icon

01:23 Uhr, 29.06.2010

danke für die schnelle antwort, aber ich habs nicht richtig verstanden sorry^^

ich glaube es liegt daran das ich mir nicht mal erklären kann wieso schon beim normalen euklidischen abstand ein kreis rauskommt?
ich weiss zwar, dass es laut dem satz des phytagoras die länge eines vektors bestimmt, aber vektoren zeigen doch immer nur in eine richtung, warum kommt dann ein kreis raus?
dann müssten die vektoren ihre richtung doch verändern?

hagman aktiv_icon

18:02 Uhr, 29.06.2010

Du betrachtest ja nicht nur einen Vektor, sondern *alle* Vektoren der Länge 1

Student8 aktiv_icon

22:58 Uhr, 29.06.2010

also bei der maximumnorm wird also der vektoreintrag ausgesucht der laut absolutbetrag die größte länge hat im vergleich zu den anderen

wenn also ich also soeinen vektor stehen habe:

(125 - 6)

dann ist 6 der größte abstand von einem bestimmten mittelpunkt ....wieso kann der kreis um diesen mittelpunkt dann nicht rund sein?

hagman aktiv_icon

00:02 Uhr, 30.06.2010

Definition von Kreis mit Radius

r

M

ist hier: Die Menge aller Punkte mit Abstand

r

von M.
Nach der *euklidischen* Norm haben die Punkte

(1; 0), (\frac{3}{5}; \frac{4}{5}), (- \frac{1}{2} \sqrt{2}; \frac{1}{2} \sqrt{2}), (- \frac{5}{13}; - \frac{12}{13})

usw. alle den Abstand

r = 1

von

M = (0; 0)

und liegen, wie man sieht auf einem "herkömmlichen" Kreis.
Nach der *Maximumnorm* haben dagegen Punkte wie

(1; 0), (1; \frac{1}{2}), (1; 1), (0,9; 1), (0; 1), (- 1; 1), (- 1; \frac{π}{4})

usw. Abstand 1 von

M,

liegen also auf einem Kresi im Sinne der Maximumsnorm, aber auf einem Quadrat mit Seitenlänge

2 r

und Mittelpunkt

M

im herkömmlichen Sinne.

Student8 aktiv_icon

15:24 Uhr, 04.07.2010

ok eine sache noch

\land

....wieso kommt dann unbedingt das quadrat raus? liegt es daran, dass bei zwei vektoreinträgen mit

r = 1

nur jeweils der größte der beiden eine rolle spielt aber jeweils erfüllt sein muss

\geq 1

für den größten vektoreintrag, sodass wenn ich mir das als pfeile vorstelle (siehe bild unten) sowas rauskommt?

hagman aktiv_icon

15:32 Uhr, 04.07.2010

Ich verstehe dein Bild nicht ganz.
Aber es gilt
||((x),(y))||_oo

= 1

\Leftrightarrow (| x | = 1 \land | y | \leq 1) \lor (| y | = 1 \land | x | \leq 1)

\Leftrightarrow (x = + 1 \land 0 \leq y \leq 1) \lor (x = - 1 \land 0 \leq y \leq 1) \lor (y = + 1 \land 0 \leq x \leq 1) \lor (y = - 1 \land 0 \leq x \leq 1)

Die einzelnen vier Teilbedingungen entsprechen in offensichtlicher Weise den vier Seiten des besagten Quadrats

Student8 aktiv_icon

20:56 Uhr, 04.07.2010

das ist mir schon klar, dass das für

x

und

y

gelten muss aber wieso dabei unbedingt ein quadrat rauskommt und nicht ein kreis kann ich mir nicht erklären ....wenn

r = 1

ist gilt bei einem kreis mit

r = 1

das in jede beliebige richtung der radius

= 1

ist beim quadrat nur in richtung der achsen ...ich kann das bei der definition der maximumsnorm nicht erkennen dass es so gelten muss

hagman aktiv_icon

23:56 Uhr, 04.07.2010

Siehst du ein, dass die beiden Äquivalenzumformungen meiner letzten Antwort gelten?
Die erste ergibt sich aus der Definition von

{| | \cdot | |}_{\infty}

und der Fallunterscheidung nach

| x | \leq | y |

vs.

| x | \geq | y |,

die zweite aus der Fallunterscheidung wegen

| t | = 1 \Leftrightarrow t = + 1 \lor t = - 1

(Ups, Tippfehler: es hätte übrigens viermal

- 1 \leq ... \leq 1

statt

0 \leq ... \leq 1

heißen müssen)
Falls nein: Wo genau hängst du?
Und falls ja: Siehst du, dass

z . B

x = - 1, - 1 \leq y \leq 1

eine Strecke beschreibt?

Student8 aktiv_icon

21:33 Uhr, 05.07.2010

ich habe soviel verstanden : ||((x),(y))||_oo

= 1

das heisst, dass der abstand von irgendeinem Punkt (zb.:

0,0)

höchstens

| 1 |

sein kann. Da die maximumnorm nur drauf achtet wie groß der größte absolut eintrag in einem vektor ist muss mindestens ein eintrag also

= | 1 | = 1

oder

- 1

sein ...und dieser bestimmt dann den abstand von dem Punkt zb.

(0,0)

Als strecke verstehe ich dann den abstand von Punkt

(0,0)

mit länge 1

was mir aber nicht klar ist wieso dann aber ein quadrat dabei rauskommt, da meiner meinung nach dann die abstände nicht überall in jede beliebige richtung nicht

| 1 |

ist wie bei einem kreis . weisst du was ich meine=?

el holgazán aktiv_icon

08:19 Uhr, 06.07.2010

Lies dir jetzt mit dem Wissen was du jetzt hast nochmal meinen Beitrag oben durch - genau darauf gehe ich da ein. Wenns dann immernoch unklar ist, schreib ich nochmal was dazu (und mach vielleicht auch ein Bildchen ;-))

Student8 aktiv_icon

23:33 Uhr, 06.07.2010

ok :-) vielen dank ...jetzt hab ich es verstanden :-) aber vielen dank an euch beide, dass ihr so viel geduld hattet

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