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Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt

student08 aktiv_icon

09:38 Uhr, 24.10.2009

Hallo!

Es sei

V = ℝ^{n}

über

ℝ

mit

n \geq 2

. Beweisen Sie, dass durch

| | x | | \infty = max {| x_{1} |, ... ., | x_{n} |}

für

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ ... . \\ x_{n} \end{matrix})

eine Norm

| | . | | \infty

auf

V

gegeben ist die nicht von einem inneren Produkt induziert ist.

Was heißt das eigentlich , dass die Norm nicht von einem inneren Produkt induziert ist?
Kann ich einfach zeigen, dass

| | . | | \infty

eine Norm ist aber dass

| | x | | \infty \neq \sqrt{< x, x >}

Stimmt das ?
lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Rentnerin

15:41 Uhr, 24.10.2009

Hallo,

Du sollst zeigen,

a) dass es eine Norm ist und

b) dass sie nicht von einem Skalarprodukt induziert wird.

Kannst Du beweisen, dass es eine Norm ist?

Gruß Rentnerin

student08 aktiv_icon

13:11 Uhr, 25.10.2009

Ja ich denk schon dass ich zeigen kann das es sich um eine Norm handelt! Einfach die Axiome überprüfen. Oder?
Aber zeigen, dass sie nicht von einem Skalarprodukt induziert wird kann ich nicht!
lg

Rentnerin

17:43 Uhr, 25.10.2009

Angenommen, es gäbe ein Skalarprodukt (muss nicht das kanonische sein!)

< > : R^{n} \times R^{n} \to R

,

das diese Norm induziert, dann betrachte für

\vec{x} = \vec{e_{1}}

und

\vec{y} = \vec{e_{2}}

(möglich, da

n \geq 2)

folgende Ausdrücke:

∥ \vec{x} ∥_{\infty}

∥ \vec{y} ∥_{\infty}

∥ \vec{x} + \vec{y} ∥_{\infty}

sowie

∥ \vec{x} - \vec{y} ∥_{\infty}

.

Nach Definition erhältst Du stets den Wert

1

. Von Skalarprodukten induzierte Normen (

K = R

) müssen nach Definition von der Gestalt

∥ \vec{v} ∥ = \sqrt{< \vec{v}, \vec{v} >}

sein. Es würde also folgen:

∥ \vec{x} \pm \vec{y} ∥_{\infty}^{2} = < \vec{x} \pm \vec{y}, \vec{x} \pm \vec{y} > = < \vec{x}, \vec{x} > \pm 2 < \vec{x}, \vec{y} > + < \vec{y}, \vec{y} >

und da beide gleich sind, muss

< \vec{x}, \vec{y} > = 0

sein. Aus

∥ \vec{x} ∥_{\infty}^{2} = ∥ \vec{x} \pm \vec{y} ∥_{\infty}^{2} = ∥ \vec{y} ∥_{\infty}^{2}

würde nun folgen:

< \vec{x}, \vec{x} > = < \vec{x}, \vec{x} > + < \vec{y}, \vec{y} > = < \vec{y}, \vec{y} >

und das ginge nur für

< \vec{x}, \vec{x} > = 0 = < \vec{y}, \vec{y} >

im Widerspruch zu

\vec{x} \neq \vec{0} \neq \vec{y}

student08 aktiv_icon

20:55 Uhr, 25.10.2009

Puha das ist aber kompliziert.
Ich hab mir das jetzt mal anders überlegt vielleicht funktioniert das auch!:

Ich nehme an

: v = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und

w = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

.

Für jede Norm die von einem Skalarprodukt induziert wird gilt ja :

< x, y > = \frac{1}{4} (| | x + y | | - | | x - y | |)

es gilt

< v, w \geq \frac{1}{4} \cdot 3 - \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{2}{4}

und wenn

v = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})

dann gilt

< v, w > = \frac{1}{4} \cdot 4 - \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}

und für skalarprodukte gilt nach defintion: <ax,y>=a<x,y> also in nicht komplexen Vektorräumen deshalb müsste gelten:

\frac{3}{4} = < (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) > = 2 \cdot < (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) > = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1

Widerspruch weil

\frac{3}{4} \neq 1

stimmt das so??
an deinem beweis versteh ich nicht:
wieso muss

< x, y > = 0

sein?
lg

Rentnerin

21:16 Uhr, 25.10.2009

Bei meinem Beweis:

Einmal heisst es

+ 2 < >

und einmal heisst es

- 2 < >

und die Ergebnisse sollen gleich sein; dann muss doch das Skalarprodukt gleich 0 sein.

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21:24 Uhr, 25.10.2009

Und wieso gilt

| | x + y | | \infty = | | x - y | | \infty

student08 aktiv_icon

21:26 Uhr, 25.10.2009

Oke ich glaub ich verstehs schon! Danke! Aber weißt du vl ob mein beweis auch stimmt?

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