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Maximumsnorm eine Norm im R^n

Universität / Fachhochschule

Tags: maximumsnorm, Norm

FlorianMetz aktiv_icon

11:28 Uhr, 30.05.2021

Wir haben die Abbildung

{| | . | |}_{\infty} : ℝ^{n} \to ℝ

definiert mit

{| | x | |}_{\infty} = max_{i = 1, ..., n} | x_{i} |

.
Nun soll ich zeigen, dass

{| | . | |}_{\infty}

eine Norm auf

ℝ^{n}

ist.

Mein Ansatz:
Da stets

| x_{i} | \geq 0

gilt (für

i = 1, ..., n)

gilt

{| | x | |}_{p} = {({| x_{1} |}^{p} + ... + {| x_{n} |}^{p})}^{\frac{1}{p}} \leq ({| | x | |}_{\infty}^{p} + ... + {| | x | |}_{\infty}^{p}) = \sqrt{n} \cdot {| | x | |}_{\infty}

Sei

x^{i}

die Komponente von

x,

für die

| x^{i} |

maximal ist, dann gilt

{| | x | |}_{\infty}^{p} = {(x^{i})}^{p} \leq {(x^{1})}^{p} + ... + {(x^{n})}^{p} = {| | x | |}_{2}^{p}

Also gilt insgesamt schonmal

{| | x | |}_{\infty} \leq {| | x | |}_{2} \leq \sqrt{n} \cdot {| | x | |}_{\infty}

Passt das schonmal soweit bzw. ist das so zielführend?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:15 Uhr, 30.05.2021

"Also gilt insgesamt schonmal

∣ ∣ x ∣ ∣ \infty \leq ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 \leq n - - \sqrt \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣ \infty

"

Oben hattest du noch ein

p

, jetzt ist

p

verschwunden und es steht

2

. Keine Ahnung, wie man das verstehen soll.

"Passt das schonmal soweit bzw. ist das so zielführend?"

Du hast offensichtlich versucht zu zeigen, dass zwei Normen äquivalent sind.
Die Frage war aber zu zeigen, dass eine Abbildung eine Norm ist.
Also passt es überhaupt nicht, du untersuchst nicht die Frage, die du hast.