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Mehrdimensionale Zufallsvariable: Dichte bestimmen

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Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: dicht, Mehrdimensional, Verteilung, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariable

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gurke122

gurke122 aktiv_icon

20:31 Uhr, 21.01.2019

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Hi,

die Aufgabe ist im Anhang.

Bei der (i) hab ich das Kriterium benutzt, dass das Integral über der Funktion 1 ergeben muss, d.h.

\int_{ℝ^{n}} c (x_{1} + 2 x_{2}^{2}) 1_{[0, 1]^{2}} (x_{1}, x_{2}) d (x_{1}, x_{2}) = 1

.
Die Indikatorfunktion ist nur für

(x_{1}, x_{2}) \in [0, 1]^{2}

ungleich Null, also ist das Integral oben gleich dem Integral über

[0, 1]^{2}

(statt über

R^{n}

) und dann kann man das mit Fubini berechnen und erhält

c = \frac{6}{7}

.
Ist das soweit richtig?

Bei der (ii) tu ich mich allerdings schwer.
Laut Skript ist die Dichte von

X_{1}

gegeben durch

\int_{ℝ} c (x_{1} + 2 x_{2}^{2}) 1_{[0, 1]^{2}} (x_{1}, x_{2}) d x_{2}

.
Allerdings weiß ich nicht wirklich wie ich das Integral berechnen soll - mit der Indikatorfunktion komme ich irgendwie nicht ganz zurecht.

Danke schonmal für Tipps.

Lg gurke122

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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pivot

pivot aktiv_icon

20:53 Uhr, 21.01.2019

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Hallo,

im Prinzip besagt die Indikatorfunktion nur wo die Dichtefunktion gilt und nicht einfach 0 ist.

Also integrierst du von 0 bis 1 und kannst die Indikatorfunktion weglassen. Es ist eigentlich auch nicht anders als was du bei schon (i) gemacht hast.

Gruß

pivot

gurke122

gurke122 aktiv_icon

21:13 Uhr, 21.01.2019

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Also wäre die Dichtefunktion von

X_{1}

dann

\frac{6}{7} x + \frac{4}{7}

und von

X_{2}

wäre sie

\frac{12}{7} y^{2} + \frac{3}{7}

?

Antwort

pivot

pivot aktiv_icon

21:30 Uhr, 21.01.2019

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Genau, mit den jeweiligen Definitionsmengen von

x_{1}

und

x_{2}

. Also z.B.

f_{X_{1}} (x_{1}) = (\frac{6}{7} x_{1} + \frac{4}{7}) 1_{[0, 1]} (x_{1})

gurke122

gurke122 aktiv_icon

22:02 Uhr, 21.01.2019

Antworten

Dankesehr!

Bei der (iii) muss ich ja

E [X_{1}], E [X_{2}]

und

E [X_{1} X_{2}]

berechnen.

E [X_{1}], E [X_{2}]

sind ja noch kein wirkliches Problem, aber wie berechne ich denn

E [X_{1} X_{2}]

?

Gilt für die Dichtefunktion denn dass

F_{X_{1} X_{2}} (x) = F_{X_{1}} (x) \cdot F_{X_{2}} (x)

?
Das kann ich nämlich nirgends im Skript finden und es kommt mir auch intuitiv nicht unbedingt richtig vor.

Antwort

pivot

pivot aktiv_icon

22:26 Uhr, 21.01.2019

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E (X_{1} X_{2}) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x_{1} \cdot x_{2} \cdot \frac{6}{7} \cdot (x_{1} + 2 x_{2}^{2}) d x_{1} d x_{2}

Ja für die Dichtefunkltion. Also kleines f.

f_{(X)} (x_{1}, x_{2}) = f_{X_{1}} (x_{1}) \cdot f_{X_{2}} (x_{2})

Bin heute dann nicht mehr online.

gurke122

gurke122 aktiv_icon

23:35 Uhr, 21.01.2019

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Aber ist obige Formel nicht

E [X]

und nicht

E [X_{1} \cdot X_{2}]

?

Danke schonmal auf jeden Fall!

Antwort

HAL9000

09:23 Uhr, 22.01.2019

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> Aber ist obige Formel nicht

E [X]

und nicht

E [X_{1} \cdot X_{2}] ?

Wie bitte? Was denn für ein

X

?

Es ist

E (g (X_{1}, X_{2})) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} g (x_{1}, x_{2}) \cdot f_{X_{1}, X_{2}} (x_{1}, x_{2}) d x_{1} d x_{2}

,

das gilt auch und gerade für Funktion

g (x_{1}, x_{2}) = x_{1} \cdot x_{2}

, was genau zu der von pivot aufgeschriebenen Formel führt.

gurke122

gurke122 aktiv_icon

10:33 Uhr, 22.01.2019

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X

ist die multivariate Zufallsvariable mit

X = (X_{1}, X_{2})

.

Mit der Formel kommt man ja dann auch darauf, dass

X_{1}, X_{2}

nicht unabhängig sind, weil

E [X_{1}] E [X_{2}] \neq E [X_{1} X_{2}]

, richtig?

Antwort

HAL9000

10:35 Uhr, 22.01.2019

Antworten

Ja, das ist gleichbedeutend mit

C o v [X_{1}, X_{2}] = E [X_{1} X_{2}] - E [X_{1}] E [X_{2}] \neq 0

.

Frage beantwortet

gurke122

gurke122 aktiv_icon

17:39 Uhr, 22.01.2019

Antworten

Okay, dann vielen Dank!

Frage beantwortet

gurke122

gurke122 aktiv_icon

17:39 Uhr, 22.01.2019

Antworten

Okay, dann vielen Dank!

gurke122

gurke122 aktiv_icon

17:39 Uhr, 22.01.2019

Antworten

Okay, dann vielen Dank!

(EDIT: Sorry für den Dreifachpost, irgendwie hatte es erst meinen Post nicht angezeigt.)

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