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Mehrfach- bzw. Flächenintegral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Flächenintegral, Integration

AlexSs aktiv_icon

15:26 Uhr, 06.12.2016

Servus Onlinemathe Community,

bin gerade bei der Klausurvorbereitung und bin dabei auf zwei Typen von Beispielen gestoßen bei deren Lösung ich einige Schwierigkeiten habe, welche ich selbst durch intensives googeln nicht lösen konnte.

1)

Für das Vektorfeld

a = {[- 2 x - y,2 y + 2 z, z]}^{T}

und das Flächenstück welches sich oberhalb der Grundrissebene

z = 0

befinde Halbkugel der durch

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9

gegebenen Kugel bezeichnet ist folgendes Integral zu berechnen.

\int_{F} a

dn=

Gibt es zu Aufgaben dieser Art etwas wie ein "Kochrezept" als Lösungsweg?

2)

Sei

G

folgender Viertelkreisring im ersten Quadranten

G = {{(x, y)}^{T}

∈

R 2 : x \geq 0, y \geq 0, 4 \leq x^{2} + y^{2} \leq 49}

Berechnen Sie den Flächeninhalt von G.

\int_{G} 1 d (x, y)

Geometrisch kann ich mir diese Aufgabe ganz gut vorstellen. Auch, dass ich hier "1" zwei mal integrieren muss ist mir relativ klar. Nur schaffe ich es leider nicht zu verstehen wie bei Beispielen dieser Art die Integrationsgrenzen zu bestimmen sind.

mfg
Alex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:04 Uhr, 06.12.2016

Hallo
Kochrezept: geeignete Koordinaten
In beiden Fällen nimmt man Kugel bzw Polarkoordinaten, dann sind auch die Grenzen einfach,
dass die Normale einer Kugel in radialer Richtung zeigt ist dir hoffentlich klar.
Gruß ledum

AlexSs aktiv_icon

16:49 Uhr, 06.12.2016

Danke für die fixe Antwort.

Das zweite Beispiel konnte ich mit Hilfe von Polarkoordinaten lösen, jedoch bin ich leider immer noch ahnungslos was das erste Beispiel angeht...

Zusätzlich bin ich noch über ein anderes Beispiel gestolpert welches mir Probleme bereitet:

Gegeben sei die Funktion

f_{x, y} = 5 y^{2}

Berechnen sie folgendes Integral über den Viertelkreis im ersten Quadranten

B = {{(x, y)}^{T}

∈

R 2 :

x^2+y^2<4,x≥0,y≥0

}

\int_{B} f_{x, y} d (x, y) =

Meine Idee wäre jetzt einfach

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{2} 5 y^{2} d (r, φ)

wobei

x = r \cdot cos (φ)

und

y = r \cdot sin (φ)

also

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{2} 5 \cdot {(r \cdot sin (φ))}^{2} d (r, φ)

auszurechnen, was aber leider nicht zum richtigen Ergebnis führt.

Wäre sehr dankbar wenn mir hier jemand meinen Fehler aufzeigen könnte.

mfg.

pwmeyer aktiv_icon

17:40 Uhr, 06.12.2016

Hallo,

Du musst Dir den Satz über die Koordinatentransformation bei Integralen anschauen und dabei speziell die Rolle der Funktionaldeterminante zur Kenntnis nehmen.

Außerdem würe es zweckmäßig, wenn Du Deine Rechnung postest, wie soll man sonst eine eventuellen weiteren Fehler finden?

Gruß pwm

AlexSs aktiv_icon

18:08 Uhr, 06.12.2016

*Hand aufs Hirn*

Danke, eine kurze Suche nach "Satz über die Koordinatentransformation bei Integralen" in meinem Skriptum konnte mein Problem mit dem Beispiel lösen. Hatte diese Stelle wohl übersehen.

Leider konnte ich das erste Beispiel meiner Ursprünglichen Fragestellung immer noch nicht richtig lösen.

Bezüglich des postens des kompletten Lösungsweges:
Halte ich nicht für notwendig da ich, sobald ich einen Ansatz habe, meinen Ansatz von Wolframalpha durchrechnen lasse um meine Rechnung 'per hand' zu überprüfen.

pwmeyer aktiv_icon

18:17 Uhr, 06.12.2016

Vielleicht klappts ja auch mit der ersten Aufgabe, wenn Du mal in Deinem Skript nach "Oberflächenintegral" oder "Fluss integral" suchst.

Gruß pwm

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