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Mehrschrittige Fehlerfortpflanzung

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Fehlerfortpflanzung, Statistik, Wahrscheinlichkeitsmaß

timlucas aktiv_icon

07:56 Uhr, 03.06.2025

Ich möchte den spez. Widerstand eines Kabels berechnen.

ρ = \frac{R \cdot A}{l}

Dabei ist

ρ

abhängig von dem Kabelquerschnitt, dem bestimmten Widerstand und der Messlänge.
Ich möchte nun den Kabelquerschnitt bestimmen. Ich mache mir 5 Kabelzuschnitte. Ich messe von jedem Kabelabschnitt 5 Litzen jeweils 5 mal mit einer Mikrometerschraube. Dadurch kann ich den Mittelwert des Durchmessers der Litze 1 und den Standardfehler bestimmen.
Ich habe nun also 5 Durchmesser mit ihren einfachen Unsicherheiten für Kabel 1 (und 5 Durchmesser für Kabel 2 usw.).
Ich möchte nun den Mittelwert

\bar{d_{1}}

bestimmen, also den Mittelwert der 5 Litzendurchmesser für Kabel 1. Das mache ich mit der Gaußschen Fehlerfortpflanzung. Dadurch erhalte ich ein Ergebnis für den Kabeldurchmesser

\bar{d_{1}} = x \pm Δ x

Bei

Δ x

handelt es sich aber nur um den einfachen Fehler.
Ich könnte mit der Formel

U = k \cdot Δ x

die erweiterte Unsicherheit bestimmen

(k = 2

für

p = 95 %)

.
Ich könnte allerdings auch nur mit der einfachen Sicherheit

u (\bar{d_{1}})

weiterrechnen und den Mittelwert

\bar{d}

aus den 5 Mittelwerten

(\bar{d 1}, \bar{d 2} ...)

bestimmen. Muss ich also nach jedem Schritt die erweiterte Unsicherheit berechnen und mit dieser Weiterrechnen, oder reicht die einfache Unsicherheit aus und ich gebe die Erweiterte Unsicherheit nur am Ende an (bei

ρ)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

08:19 Uhr, 03.06.2025

Eine Frage am Rande: Warum willst du den Mittelwert

\overline{d}

der fünf Mittelwerte

{\overline{d}}_{1}, \dots, {\overline{d}}_{5}

bestimmen?

So wie ich dich verstanden habe, ist dein eigentliches Ziel doch die Bestimmung der Gesamtquerschnittsfläche

A = \frac{π}{4} (d_{1}^{2} + \dots + d_{5}^{2})

sowie deren Fehler

Δ A

. Zu diesem Zweck solltest du besser den Durchschnitt der Durchmesserquadrate

\bar{d^{2}}

bestimmen statt mit dem Quadrat des Durchschnittsdurchmessers

{\overline{d}}^{2}

zu rechnen!

Macht vielleicht keinen so großen Unterschied, wenn die fünf Litzen nahezu gleich dick sind (wovon wohl auszugehen ist), dennoch ist es die genauere Vorgehensweise - wir wollen ja keine zusätzlichen Fehler reinbringen, die vermeidbar sind. ;-)

> oder reicht die einfache Unsicherheit aus und ich gebe die Erweiterte Unsicherheit nur am Ende an?

So ist es richtig.

timlucas aktiv_icon

08:26 Uhr, 03.06.2025

Danke für die Antwort!
Was meinst du mit Durchschnitt der Durchmesserquadrate statt Quadrat des Durchschnittdurchmessers?
Wenn ich die einzelnen Durchmesser addiere (wie in deiner Formel) wird die Fläche ja sehr groß! Oder hast du eine Wurzel in deiner Formel vergessen?

HAL9000

08:36 Uhr, 03.06.2025

Nochmal: Wenn dein Ziel die Bestimmung der Gesamtfläche

A = \frac{π}{4} (d_{1}^{2} + \dots + d_{5}^{2})

ist, dann solltest du doch auch genau diese Formel nehmen! Dein Weg klingt so, als wolltest du mit

A \overset{?}{=} \frac{π}{4} \cdot 5 \cdot {\overline{d}}^{2} = \frac{π}{4} \cdot 5 \cdot {(\frac{d_{1} + \dots + d_{5}}{5})}^{2}

rechnen, was einen zusätzlichen (vermeidbaren) Fehler reinbringt - der umso größer ist, je stärker sich die Litzen im Durchmesser unterscheiden.

timlucas aktiv_icon

08:44 Uhr, 03.06.2025

Ich glaube ich habe mich falsch ausgedrückt. Das Kabel hat

74

Litzen. Ich messe 5 Kabel und davon jeweils 5 Litzen mehrmals um einen Mittelwert mit Standardfehler zu bekommen. Das mache ich um den Durchmesser einer Litze noch genauer zu erhalten. Mit diesem genauen Durchmesser einer Litze berechne ich die Fläche einer Litze

A_{e} = \frac{π \cdot d^{2}}{4}

Dann multipliziere ich die Fläche einer Litze mal

74

um die Gesamtfläche des Kabels zu erhalten.

A = 74 \cdot A_{e}

HAL9000

08:47 Uhr, 03.06.2025

Ja Ok, diesen Part habe ich missverstanden, es sind 74 statt 5 Litzen - du misst eben nur 5 der 74 Litzen.

Das ändert aber nichts grundsätzlich an meinem Kommentar: Du solltest deine Statistiken nicht auf die

d_{i}

beziehen, sondern auf deren Quadrate - auch dann, wenn du von 5 auf 74 hochrechnest.

Extremes Beispiel für ein Kabel mit nur zwei Litzen: Die mögen die Durchmesser

d_{1} = 1 m m

und

d_{2} = 3 m m

haben.

Dann ist die Gesamtquerschnittsfläche der Litzen gleich

A = \frac{π}{4} (d_{1}^{2} + d_{2}^{2}) \approx 7.85 m m^{2}

.

Wenn du hingegen mit

\overline{d} = \frac{d_{1} + d_{2}}{2} = 2 m m

und dann einfach

A \overset{?}{=} 2 \cdot \frac{π}{4} {\overline{d}}^{2} \approx 6.28 m m^{2}

rechnest, dann machst du doch (abseits der hier im Beispiel noch gar nicht betrachteten Fehlerrechnung) einen zusätzlichen systematischen Fehler!!!

timlucas aktiv_icon

08:56 Uhr, 03.06.2025

Dein Beispiel verstehe ich. Aber ich messe ja nicht alle Litzen eben nur 5 um daraus einen Mittelwert mit Standardfehler zu erhalten.
Ich habe also die Kabel

1 - 5

und die Mittelwerte

d_{1} - d_{5} (d_{1}

ist der Mittelwert aus den 5 Litzen aus Kabel 1 etc.)und berechne aus diesen 5 Durchmessern auch nochmal den Mittelwert und erhalte dadurch einen Mittelwert

d

der ziemlich genau sein sollte.
Wie soll ich sonst mit Quadraten die Gesamtfläche bestimmen? Wenn die Litzen im Durchmesser stark variieren wird das doch durch den Mittelwert und den Standardfehler berücksichtigt.

HAL9000

09:29 Uhr, 03.06.2025

Ok, nochmal von vorn, an einem konkreten Beispiel: Du hast z.B. folgende Daten gemessen (jeweils in mm, jede Spalte repräsentiert eine Litze):

d1 d2 d3 d4 d5
0,188 0,182 0,226 0,210 0,213
0,192 0,189 0,210 0,205 0,209
0,188 0,203 0,195 0,226 0,199
0,199 0,201 0,200 0,219 0,224
0,203 0,216 0,194 0,213 0,211

Wie lautet nun deine Schätzung für die Gesamtfläche

A

der 74 Litzen bzw. des zugehörigen einfachen Fehlers

Δ A

timlucas aktiv_icon

10:34 Uhr, 03.06.2025

Ich habe die Berechnung im Anhang.
Ich komme auf folgende Werte

[

mm]

d_{1} = 0,194 \pm 0,004

d_{2} = 0,198 \pm 0,006

d_{3} = 0,205 \pm 0,006

d_{4} = 0,215 \pm 0,004

d_{5} = 0,211 \pm 0,005

Dann komme ich auf

\bar{d} = 0,205 \pm 0,003

mm
Fläche einer einzelnen Litze

A = 0,033 \pm 0,001

mm^2
Fläche von

74

Litzen:

A = 2,44 \pm 0,08

HAL9000

11:12 Uhr, 03.06.2025

Genau wie befürchtet: Du rechnest die Gesamtfläche aus basierend auf

\overline{d} = \frac{{\overline{d}}_{1} + \dots + {\overline{d}}_{5}}{5}

Besser wäre es (wie schon zweimal erwähnt) sie auf Basis von

\bar{d^{2}} = \frac{{\overline{d}}_{1}^{2} + \dots + {\overline{d}}_{5}^{2}}{5}

auszurechnen, d.h. statt

A \overset{?}{=} 74 \cdot \frac{π}{4} {\overline{d}}^{2}

mit

A = 74 \cdot \frac{π}{4} \bar{d^{2}}

, das ist statistisch unverzerrt und damit sauberer.

Aber angesichts der vielen Zwischenrundungsfehler ist es eh egal, wie du rechnest: Die Feinheiten, die ich da rausarbeiten wollte, verschwinden bei dieser unsauberen Rechenweise. Merke: Niemals runden bei Zwischenergebnissen! Erst beim Endergebnis, sonst kriegst du unnötige Zusatzfehler in der Rechnung.

timlucas aktiv_icon

11:32 Uhr, 03.06.2025

Okay, vielen Dank für deine Hilfe

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