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Mehrstufige Produktionsprozesse(Matrizen)

Schüler

Tags: matriz, mehrstufig

baumchen aktiv_icon

23:38 Uhr, 30.09.2015

Hallo,
Ich wollte mal fragen ob ihr wisst wie man diese Aufgabe rechnet:

Ein Unternehmen stellt aus vier Rohstoffen drei Zwischenprodukte her und daraus drei Endprodukte.

a)

Bestimmen Sie die Matrix

B

(A

und

C

sind vorgegeben)

A = (1,0,1 | 0,1,1 | 1,0,1 | 0,0,1) C = (1,3,2 | 2,1,3 | 1,3,2, | 0,1,2)

B = A^{- 1} \cdot C

Nur weiss ich nicht wie ich bei einer

4 x 3

Matrix die inverse Matrix berechnen kann.

MfG

Roman-22

00:08 Uhr, 01.10.2015

>

Nur weiss ich nicht wie ich bei einer

4 x 3

Matrix die inverse Matrix berechnen kann.
Gar nicht!
Schau noch mal genau nach. Da steht vermutlich

A^{T}

und nicht

A^{- 1}

. Wenn nicht, dann ist das ein Druck-/Tippfehler.

baumchen aktiv_icon

00:40 Uhr, 01.10.2015

Nein.
DAs ist schon richtig so...
Ich weiss das man es irgendwie durhc logisches denken hin bekommt ohne zu rechnen aber ich verstehe nicht genau wie.

E 1

hat 0 einheiten von

R 4

- \to E 1

kann nicht

Z 3

als zwischen prodokt haben
daher ist

E 1

gleich 1.

Femat aktiv_icon

09:06 Uhr, 01.10.2015

Ich würde meinen, dass die Matrix

C 3 x 3

sein sollte. Sie soll ja beschreiben, wie aus 3 Zwischenprodukten 3 Endprodukte entstehen.

Roman-22

09:27 Uhr, 01.10.2015

>

Ich würde meinen, dass die Matrix

C 3 x 3

sein sollte.

>

Sie soll ja beschreiben, wie aus 3 Zwischenprodukten 3 Endprodukte entstehen.
Die

3 x 3

Matrix die du meinst heißt hier aber

B

und ist gesucht. A gibt den Zusammenhang Rohstoffe-Zwischenprodukte an und

C

den Zusammenhang Rohstoffe-Endprodukte. Es gilt die Beziehung

A \cdot B = C

.

Die Schreibweise in der Fragestellung mit

B = A^{- 1} \cdot C

ist nichtsdestotrotz grober Unfug, da man eben nur von quadratischen Matrizen die Inverse bilden kann.

Man könnte mit der Pseudoinversen

A^{+} (\to

de.wikipedia.org/wiki/Pseudoinverse sein Glück versuchen, jedoch findet man aufgrund der besonders sympathischen Bauart von A (vor allem die letzte Zeile) hier die Elemente von

B

durch genaues Hinsehen sicher wesentlich einfacher und schneller mit

B = (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix})

.

Anm.:

A^{- 1}

darf man trotzdem nicht schreiben - das ist schlicht falsch.

Roman-22

10:08 Uhr, 01.10.2015

Ergänzung:
Falls bloßes Hinsehen nicht zielführend ist, weil die Marix A vielleicht einmal ein wenig bösartiger und nicht so einfach gestrickt ist, kannst du ja ein Verfahren anwenden, welches dem Gauß-Verfahren sehr ähnlich ist.
Schreibe dir A und

C

nebeneinander, erzeuge durch Linearkombinationen in A die Matrix

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

und lies in

C

in den oberen drei Zeilen die gesuchte Matrix

B

ab.

Also

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix})

wird umgeformt nach

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Femat aktiv_icon

10:49 Uhr, 01.10.2015

bist du ein kluger Mensch!Roman

Ist zu hoffen, dass baumchen auch gut gedeiht und staunt.

Roman-22

18:18 Uhr, 01.10.2015

Nun, mein mitternächtlicher Hinweis auf

A^{T}

war jedenfalls nicht gar so klug ;-)

Und auf die Methode "scharfes Hinsehen" dürfte man ihn ja bereits hingewiesen haben, da er schreibt "Ich weiss das man es irgendwie durhc logisches denken hin bekommt ohne zu rechnen".
Mal sehen ob noch Interesse besteht und mein Hinweis auf die letzte Zeile von A ausreichend war.

R

baumchen aktiv_icon

21:20 Uhr, 02.10.2015

Deine Erklärung verstehe ich leider nicht ganz... aber bei mir besteht großes interesse es zu verstehen :-D)

MfG

Roman-22

22:44 Uhr, 02.10.2015

>

Deine Erklärung verstehe ich leider nicht ganz... aber bei mir besteht großes interesse es zu verstehen :-D))

a)

Schade!

b)

Fein!

Also von vorn - das scharfe Hinsehen.

Wie suchen eine

3 x 3

Matrix

B,

sodass

A \cdot B = C

gilt, richtig?
Und wir wollen uns nicht mit Pseudoinversen, QR-Zerlegung udgl herumärgern.

Also ordentlich anschreiben. Und das geht hier nicht so leicht, daher Screenshots.
Es geht um diese Multiplikation
Bild1

Wie kommen wir durch Matrizenmultiplikation auf die blau hinterlegte Null? Durch Multiplikation des blau markierten Zeilenvektors mit dem blau markierten Spaltenvektor. Also

0 \cdot a_{11} + 0 \cdot a_{21} + 1 \cdot a_{31} = 0

. Daher muss

a_{31} = 0

sein.
Wie ergibt sich die grüne 1? Analog durch Multiplaktion wieder des blauen Zeilenvektors mit dem grünen Spaltenvektor, also

0 \cdot a_{12} + 0 \cdot a_{22} + 1 \cdot a_{32} = 1

. Daher ist

a_{32}

trivialerweise gleich 1.
Und auf völlig analoge Weise ergibt sich

a_{33} = 2

.
Die letzte Zeile von

C

dupliziert sich in die letzte Zeile von

B,

weil der entsprechende Zeilenvektor in A dankenswerterweise

(0, 0, 1)

ist.

Wenden wir und jetzt der ersten Zeile von A (und

C)

zu. Diese sind ja ident mit den jeweiligen dritten Zeilen. Sympathischerweise ist in der Zeile von A hier wieder eine Null zu finden.
Bild2

Also wieder blau mal blau ;-)

1 \cdot a_{11} + 0 \cdot a_{12} + 1 \cdot 0 = 1 \Rightarrow a_{11} = 1

Und jetzt blau mal grün:

1 \cdot a_{12} + 0 \cdot a_{22} + 1 \cdot 1 = 3 \Rightarrow a_{12} = 2

Und zuletzt noch blau mal gelb:

1 \cdot a_{13} + 0 \cdot a_{23} + 1 \cdot 2 = 2 \Rightarrow a_{13} = 0

Noch eine Zeile zu finden und jetzt ist es zwar nett, aber nicht unbedingt nötig, dass auch in der zweiten Zeile von A wieder eine Null vorkommt.
Bild3

Und ich denke, die nötigen Schritte, um nun auf die zweite Zeile von

B \to (2, 0, 1)

zu kommen, wirst du auch alleine schaffen.

Die Beschreibung zu lesen dauert sicher wesentlich länger als die Berechnung in der Praxis, die Dank der sympathischen Matrix A wirklich nur eine durch Hinsehen zu bewältigende Kopfrechnung ist.

R

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08:44 Uhr, 03.10.2015

Sehr schöne Präsentation! SuperRoman!

baumchen aktiv_icon

18:02 Uhr, 03.10.2015

WOoow vielen Dank!
Das muss ich mir erst mal in ruhe anschauen.

MfG

baumchen aktiv_icon

14:52 Uhr, 04.10.2015

Ich verstehe die Rechnung bis auf das Ergebnis also warum ist bei deiner ersten Rechnung das Ergebnis der Gleichung (0,1,2)also woher weiss man in welcher Zeile die Ergebnisse stehen die ich in die gleichung

x \cdot a 1 + y \cdot a 1 + z \cdot a 1 =

Ergebnis als Ergebnis eintragen muss?

Femat aktiv_icon

15:22 Uhr, 04.10.2015

Ich habe das ganze als Gleichungssystem aufgeführt.mit den 9 unbekannten

a, b, c, d, e . f . g . h, i

statt a mit zeilen und spaltenindizes.

erste Gleichung 1.zeile A mal 1. spalte

B =

entspr.Wert in

C

usw
usw

Es ist das gleiche Verfahren wie Romans ein bisschen anders geschrieben

Roman-22

15:29 Uhr, 04.10.2015

>

gleichung x⋅a1+y⋅a1+z⋅a1= Ergebnis
????? Wo siehst du diese Gleichung mit diesen Bezeichnern in meiner Erklärung?

>

woher weiss man in welcher Zeile die Ergebnisse stehen
Ich weiß nicht, ob ich deine Frage richtig verstehe. Genau das hab ich doch durch farbliche Hinterlegungen zu verdeutlichen versucht. Das Ergebnis kommt dorthin, wo sich der "Zeilenbektor" und der "Spaltenvektor" in meiner Anordnung (Falk-Schema) der Matrizen dann in der Eregebnismatrix schneiden.

Aber ich denke mir dämmerts! Dein Problem scheint zu sein, dass du nicht weißt, wie man zwei Matrizen miteinander multipliziert!
Diese Lücke solltest du unbedingt schließen, bevor du dich an Aufgaben ranwagst, die Matrizenmultiplikationen erfordern.
Am Besten natürlich mithilfe deiner Skripten oder einem guten Lehrbuch. Zur Not müssten ansonsten Beiträge und Videos aus dem Netz herhalten, die du sicher auch selbst suchen und finden kannst.
Ohne Wertung zB
http//www.mathebibel.de/matrizenmultiplikation
http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node17.html
http//www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/WWWErgVert/html/matrixmultiplikation__beispiel.html

. .

R

baumchen aktiv_icon

16:09 Uhr, 04.10.2015

Die gleichung habe ich anders geschrieben keine Ahnung was da los ist.. ich kann es auch nicht mehr bearbeiten.
Danke für die Links.. werde ich mir anschauen das Problem ist nur das ich morgen noch eine spanisch klausur schreibe und daher nicht so viel zeit hat (daher wird es erst mal dauern).

baumchen aktiv_icon

19:15 Uhr, 05.10.2015

So,
jetzt hab ich zeit war echt stressig konnte daher leider nicht antworten, aber ich hab es denke ich alles verstanden bis auf eine sache undzwar warum du nicht die 3. Zeile von

c

als ergebnis der gleichung nutzen musstest sondern nur 3 von 4.

0 \cdot 1 + a 21 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 2

a 21 = 2

0 \cdot 2 + 1 \cdot a 22 + 1 \cdot 1 = 1 | - 1

a 22 = 0

0 \cdot 0 + 1 \cdot a 23 + 1 \cdot 2 = 3 | - 2

a 23 = 1

Roman-22

19:58 Uhr, 05.10.2015

Ich habs, glaube ich, versteckt schon irgendwo geschrieben.

Es sollte dir auffallen, dass die erste und dir dritte Zeile von A gleich sind. Glücklicherweise sind auch die erste und die dritte Zeile von

C

gleich. Wäre das nicht so, würde es sich um einen Angabefehler handeln und die Aufgabe wäre nicht lösbar.
Anders ausgedrückt: erste und dritte Zeile liefern genau das Gleiche. Daher ist es sinnlos, beide in die Rechnung einzubeziehen.

Die Aufgabe entspricht ja im Grunde einem überbestimmten Gleichungssystem. So, als hättest du vier Gleichungen und nur drei Variablen, nach denen du auflösen sollst. Wenn da die Gleichungen nicht "zusammenpassen", gibt es in der Regel keine Lösung.

R

PS: Es muss bei der Aufgabe aber nicht zwangsläufig so sein, dass zwei gleiche Zeilen auftreten. Es kann auch eine eine Linearkombination der anderen drei sein (ist immer so) und dann muss aber die entsprechende Zeile in der anderen Matrix genau die gleiche Linearkombination aus ihren anderen Zeilen sein, sonst gibt es keine Lösung.

baumchen aktiv_icon

20:58 Uhr, 05.10.2015

Ahhh!
Sehr gute Erklärung von dir!
Vielen Dank.

MfG!

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