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Mehrstufiges Zufallsexperiment

Schüler Gymnasium,

Tags: Wahrscheinlichkeit, Zufallsexperiment

Anoonym99999 aktiv_icon

15:46 Uhr, 07.05.2022

Hallo zusammen, ich habe folgendes Problem:

"Vor langer Zeit, als die feinen Damen noch Hüte trugen und alle Kinder gut
erzogen waren, gingen einige feine Damen mit ihren Hüten spazieren.
Plötzlich kam ein Windstoß und wehte alle Hüte davon. Ein paar wohl-
erzogenene Kinder sammelten die Hüte ein und brachten jeder Dame einen."
Ermittle mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass jede der Damen
ihren eigenen Hut bekommt, wenn es insgesamt …

1 .)

drei …

2 .)

vier …

3 .)

fünf … feine Damen waren.

Hier habe ich ein Baumdigramm ohne zurücklegen gezeichnet. Also für die

1 .)

war meine Rechnung:

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}

b)

Finde eine Formel für die Wahrscheinlichkeit unter

a)

für

n

feine Damen.
Hier komme ich leider nicht wirklich weiter... Mein Gedanke war, dass die Formel ja Richtung

\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{1}{n - 2} ...

. gehen müsste, aber das wär ja keine richtige Formel.... und nach

n

auflösen könnte man das ja auch nicht, dies bräuchte man aber für Teilaufgabe

c) . .

.

Über Tipps und Hilfen bin ich sehr dankbar!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

15:56 Uhr, 07.05.2022

Hallo,

soweit richtig. Mit Produktzeichen ist die Formel

P (X = n) = \prod_{i = 0}^{n - 1} \frac{1}{n - i}

. Mit Hilfe der Fakultät (siehe Link) kann man diesen Term vereinfachen bzw. anders schreiben:

P (X = n) = \frac{1}{n!}

Was jetzt in c) gemacht werden soll weiß ich jetzt natürlich nicht.

Gruß
pivot

de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)

Anoonym99999 aktiv_icon

16:17 Uhr, 07.05.2022

Alles klar, vielen Dank schonmal! In

c

ist gefragt:

Berechne, wie viele Damen es mindestens sein müssen, damit die Wahrscheinlichkeit,
dass jede ihren eigenen Hut bekommt, kleiner als 10^–6 ist.

- \to

Umgeformt wäre dass dann ja

\frac{1}{10^{6}}

also

\frac{1}{1.000.000}

oder auch

0,000001

daraus folgt ja

\frac{1}{n}! < 0,000001

Mit ausprobieren würde ich da auf

n = 10

kommen. Gäbe es da noch einen Rechenweg?

und

d)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei

n

Damen, dass keine ihren eigenen Hut
bekommt?

- \to

Das müsste dann einfach die Gegenwahrscheinlichkeit sein, also

1 - \frac{1}{n}!

oder?

pivot aktiv_icon

16:45 Uhr, 07.05.2022

Die c) ist soweit richtig.

Bei der d) kann man hier nicht einfach die Gegenwahrscheinlichkeit nehmen. Es gibt ja auch noch die Fälle, bei denen manche Damen ihren Hut zurückbekommen und andere nicht.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die k-te Dame ihren Hut zurückbekommt ist konstant

\frac{n - 1}{n} \frac{n - 2}{n - 1} \dots \frac{n - k + 1}{n - k} \frac{1}{n - k + 1} = \frac{1}{n}

Erläuterung:

k - 1

Damen zuvor bekommen den Hut der k-ten Dame jeweils nicht. Und die Wahrscheinlichkeit, dass die

k

-te Dame ihren Hut zurückbekommmt, gegeben noch keine andere der

k - 1

Damen hat ihren Hut ist

\frac{1}{n - k + 1}

Jetzt kann man die Gegenwahrscheinlickeit verwenden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die k-te Dame nicht ihren Hut zurückbekommt ist

1 - \frac{1}{n}

. Somit ist die W'keit, dass alle

n

Damen nicht ihren Hut zurückbekommen gleich

{(1 - \frac{1}{n})}^{n}

N8eule

17:10 Uhr, 07.05.2022

Hallo
zu

c)

"Mit (A)usprobieren würde ich da auf

n = 10

kommen. Gäbe es da noch einen Rechenweg?"
Ausprobieren bzw. numerische Näherungsverfahren ist der Lösungsweg.
Da wird uns allen nichts besseres einfallen. Denn für die Fakultät gibt es keine explizite Umkehrfunktion.

Es gibt wohl eine Näherungsformel, die sog. Stirlingformel. Wenn es dich studienhalber interessiert, siehe

\to

de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel
Aber auch damit werden wir nicht wirklich eine Umkehrfunktion zaubern können.

Anoonym99999 aktiv_icon

17:12 Uhr, 07.05.2022

Vielen Dank euch nochmal! :-)

pivot aktiv_icon

17:13 Uhr, 07.05.2022

Ich habe noch einmal überlegt. Letztendlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Damen keine ihren Hut zurückbekommt gleich

\sum_{i = 2}^{n} \frac{(- 1)^{i}}{i!}

für

n \geq 2

Die Formel ist in dem Wiki-Artikel für die Fixpunktfreie Permutation zu finden. Beispiel für

n = 4

. Bei den Zahlenfolgen steht keine Zahl i an der Stelle

i

2143 2341 2413 3142 3412 3421 4123 4321 4312

Das sind

9

Anordnungen. Und insgesamt gibt es

4! = 24

mögliche Anordnungen. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 4 Damen nicht ihren Hut bekommen gleich

\frac{9}{24} = \frac{3}{8}

. Die obige Formel ergibt für

n = 4

\sum_{i = 2}^{4} \frac{(- 1)^{i}}{i!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{9}{24}

Das Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis mittels Abzählung der Zahlenfolgen überein. Ich glaube nicht, dass diese Aufgabe noch etwas mit Schulmathematik zu tun hat.

de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation

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