 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Menge
Menge
Universität / Fachhochschule
Tags: Komplement, Offenheit
 
|
  |
|---|
|
Hallo, ich habe folgende Menge: Ich will untersuchen, ob diese abgeschlossen ist. Dazu betrachte ich das Komplement, dass dann offen sein muss: Das Komplement würde doch folgenden Bedinungen genügen: und . Das ist doch offen. Ist das so richtig? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Hallo und wie zeigst du , dass da Komplement offen ist, da du ja fragst ist das offensichtlich nicht einfach klar, du musst schon ein Argument für offen (oder abgeschlossen) benutzen, Gruß ledum |
 |
|
Die Offenheit wegen der "<" Relation oder ist das zu schwach? |
|
|
|
Hallo, 1. Dein Komplement ist falsch; Da die Bedingung der Menge ist, muss nach DeMorgan für das Komplement gelten. 2. Falls ihr Sätze über Ungleichungen und offene Mengen kennt, könntest du sie zitieren und verwenden. Anderenfalls würde ich benutzen, dass und stetige Abbildungen sind. Gruß ermanus |
|
|
|
Danke ermanus, aber worauf willst du mit den stetigen Abbildungen hinaus? |
|
|
|
Unter einer stetigen Abbildung sind die Urbildmengen offener Mengen offen und die Urbildmengen abgeschlossener Mengen abgeschlossen. Das ist eine der Definitionen von Stetigkeit. Hättest du dazu eine Idee? |
|
|
|
Wenn ich wüsste, und offen sind, dann sind deren Urbilder offen und die Vereinigung dieser ist dann auch offen und damit das Komplement offen. |
|
|
|
Naja, so kann man das nicht schreiben ... kann nicht offen sein, nur Mengen können offen sein. Sei die erste von dir gemeinte Funktion. Es ist eine offene Menge. Da stetig ist, ist dann auch die Urbildmenge offen. Entsprechend verfahre mit dem . Und dann hast du Recht, dass dann schließlich die Vereinigung der beiden offenen Urbildmengen offen ist. Du hättest aber auch gleich mit der als abgeschlossen zu beweisenden Ausgangsmenge entsprechend argumentieren können. Dann hättest du dir den Weg über das Komplement sparen können. |
|
|
|
Aso ist das:-) Aber wenn ich jetzt von der Ausgangsmenge ausgehe und betrachte mit dann ist doch die Bildmenge . Ist das abgeschlossen. Das Komplement ist offen, also ja. Also müsste ich trotzdem über das Komplement gehen oder? |
|
|
|
Das Urbild einer abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen, daher ist dann abgeschlossen, entsprechend für den -Teil. Dann bekommst du, dass deine Menge als Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist, und du hast das Komplement gar nicht benötigt. |
|
|
|
Ich meine nur, dass das Intervall abgeschlossen ist, muss ich mir ja auch irgendwie klar machen. Deshalb das Komplement:-) |
|
|
|
Achso. Aber welche Intervalle offen und welche abgeschlossen sind, ist doch allbekannte Folklore ;-) |
 |
|
Ja nur zur Sicherheit:-) Danke dir für deine Hilfe. Einen schönen Abend dir:-) |
|
|
|
Wie sehe ich egtl, ob die Menge beschränkst ist? |
|
|
|
Hallo da liest man die Def für beschränkt in metrischen Räumen nach: und dann überprüft man : liegt die Menge in einer Kugel mit endlichem Radius dann ist sie beschränkt. Gruß ledum |
|
|
|
Aber wie sehe ich denn, dass die Menge in einer Kugel liegt? |
|
|
|
zeichne die halt auf Gruß ledum |
|
|
|
Ja aber , wie würde ich es denn analytisch machen? |
|
|
|
Hallo, das kann man so gar nicht allgemein beantworten, da es sehr von der Metrik des Raumes abhängt. In der Standardmetrik des ist eine Menge genau dann beschränkt, wenn sie in der Maximumsnorm beschränkt ist. D.h. wenn es eine Zahl gibt, so dass für alle Elemente der Menge gilt: , d.h. keine der Koordinaten geht gegen . Wenn man hingegen mit der diskreten Metrik versieht, ist jede Teilmenge und auch der ganze Raum beschränkt. Alle Elemente liegen in der abgeschlossenen "Kugel" mit Radius 1. Versieht man mit der -adischen Metrik für eine Primzahl , dann liegt die Teilmenge in der Einheitskugel um den Ursprung. Gruß ermanus |
|
|
|
Wenn ich die Standardmetrik mit der Maximumsnorm zugrunde lege, dann bekomme ich für die Komponente keine Beschränkung nach oben, also ist die Menge unbeschränkt? |
|
|
|
Ja, sehe ich genauso :-) |
|
|
|
Damit ist die Menge natürlich kein Kompaktum. Ok ich muss einfach nur aufpasssen, bzgl welche Metrik ich die Beschränktheit untersuche. Danke dir nochmals:-) Bis dann:-) |
1442589
1442085