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Menge Komplexen Zahlen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Komplex, Zahl

anonymous

20:34 Uhr, 07.10.2018

Hallo,

Kann mir bitte jemand für

x 4 + 2 x 2 + 3 = 0

Die Lösungsmenge auf

C

geben, also mit Imaginäre Zahl.

Vielen Dank in voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

supporter aktiv_icon

20:50 Uhr, 07.10.2018

Substituiere

x^{2} = z

z^{2} + 2 z + 3

pq-Formel anwenden:

. .

ledum aktiv_icon

21:36 Uhr, 07.10.2018

z^{2} + 2 z + 3 = 0

z_{1,2}) = - 1 \pm \sqrt{1 - 3} = - 1 \pm i \cdot \sqrt{2}

jetzt

x_{1} = \sqrt{z 1} = \sqrt{- 1 + i \cdot \sqrt{2}}

weisst du wie man Wurzeln aus komplexen Zahlen zieht? man schreibt sie als -1+isqrt(2)=r*e^(it) mit

r = \sqrt{1^{2} + {\sqrt{2}}^{2}} = \sqrt{3}

und t=arctan

(\frac{\sqrt{2}}{- 1}) = - 0.955

aber das sagt nur der TR, richtig ist\pi-0.955 da

z 1

im 2 ten Quadranten liegt.
du hast also für

x_{1,2} = {(e^{i \cdot (2,186 + k \cdot 2 π)})}^{\frac{1}{2}} 2

Wurzeln .

k = 0

und 1
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

21:48 Uhr, 07.10.2018

.
"

x 4 + 2 x 2 + 3 = 0

\to

wenn das so aussehen sollte

\to x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 3 = 0,

dann wäre es wohl eine gute Idee, wenn du zuerst nochmal genau nachschaust
ob du alle Zahlen usw richtig aufgeschrieben hast ..

also: wie sieht die Aufgabe wirklich aus

\to ...

?
(und wo hast du die Aufgabe her?)
.

anonymous

12:01 Uhr, 08.10.2018

Und wie heißt die Menge?
Vielen Dank
Lg

ledum aktiv_icon

12:36 Uhr, 08.10.2018

Hallo
du hast ne eigenartige Art auf Antworten zu reagieren, was konntest du damit anfangen?
die Menge heisst Lösungsmenge der Gleichung. Aber was soll der Name helfen du kanst auch einfach schreiben

L = {x 1, ... ...}

natürlich mit den Werten.
Gruß ledum

Atlantik aktiv_icon

12:43 Uhr, 08.10.2018

x^{4} + 2 x^{2} + 3 = 0

x^{4} + 2 x^{2} = - 3

x^{4} + 2 x^{2} + {(\frac{2}{2})}^{2} = - 3 + {(\frac{2}{2})}^{2}

x^{4} + 2 x^{2} + 1 = - 2

{(x^{2} + 1)}^{2} = - 2

... ... ... . .

- 1 = i^{2}

... ... ... ...

{(x^{2} + 1)}^{2} = 2 \cdot i^{2}

1 .) x^{2} + 1 = i \sqrt{2}

x^{2} = - 1 + i \sqrt{2}

x_{1} = \sqrt{- 1 + i \sqrt{2}}

x_{2} = - \sqrt{- 1 + i \sqrt{2}}

2 .) x^{2} + 1 = - i \sqrt{2}

x^{2} = - 1 - i \sqrt{2}

x_{3} = \sqrt{- 1 - i \sqrt{2}}

x_{4} = - \sqrt{- 1 - i \sqrt{2}}

mfG

Atlantik

anonymous

13:15 Uhr, 08.10.2018

Genau das meine ich, halt das was in der geschwungene Klammer vorkommen muss

rundblick aktiv_icon

16:56 Uhr, 08.10.2018

.

grosser Atlantik

\to

wo sind deine vier Lösungen in der für komplexe Zahlen üblichen Form
der Darstellung (zB

\to

in Normalform

a + b \cdot i . .

. mit a und

b \in ℝ)

?

@Christine261 :
es ist äusserst unanständig , auf hier naheliegende Fragen keine Antwort zu geben

also nochmal:
wie sieht die Aufgabe wirklich aus →...?
und: wo hast du die Aufgabe her?

\to . .

.
.

abakus

17:14 Uhr, 08.10.2018

@Christine261

Da du erst seit gestern Mitglied bist und deshalb weder Einblick in die Feinheiten des Formelsatzen (z.B. Exponenten) noch in die persönlichen Probleme einzelner Antwortgeber hast:
Du musst nicht jedem antworten.
Und wenn du stattdessen noch jemanden bis aufs Blut reizen willst: Du kannst auch den Button abschalten, welcher anzeigt, ob du gerade online bist.

Doerrby aktiv_icon

22:45 Uhr, 09.10.2018

Andererseits wäre etwas mehr Eigeninitiative des Fragestellers bei der Lösungsfindung schon wünschenswert...

Doerrby aktiv_icon

22:24 Uhr, 15.10.2018

Man kann die Wurzel einer komplexen Zahl auch in karthesischen Koordinaten ziehen:

\sqrt{z} = x + i y

, wobei x und y reelle Zahlen sind
Dann ist

z = {\sqrt{z}}^{2} = (x + i y) (x + i y) = x^{2} - y^{2} + i \cdot 2 x y

z hat also den Realteil

R e := x^{2} - y^{2}

und den Imaginärteil

I m := 2 x y

, wobei

R e

und

I m

reelle Zahlen sind.

Im = 2xy |:2 |)²

x^{2} y^{2} = (\frac{I m}{2}) ²

Re = x² - y² |

\cdot

x²

R e \cdot x^{2} = x^{4} - x^{2} y^{2}

I m

Einsetzen, Sortieren

0 = x^{4} - R e \cdot x^{2} - (\frac{I m}{2})^{2}

x^{2} = \frac{1}{2} (R e \pm \sqrt{R e^{2} + I m^{2}})

Weil jetzt noch die Wurzel gezogen wird, muss in der Klammer + stehen, denn x ist reell.

x = \pm \sqrt{\frac{1}{2} (R e + \sqrt{R e^{2} + I m^{2}})}

\sqrt{R e^{2} + I m^{2}} = ∣ z ∣

Über

I m = 2 x y

ergibt sich jeweils das Vorzeichen für y.

R e = x^{2} - y^{2}

|+y^2 -Re

y^{2} = x^{2} - R e = \frac{1}{2} (R e + \sqrt{R e^{2} + I m^{2}}) - R e = \frac{1}{2} (- R e + \sqrt{R e^{2} + I m^{2}})

y = \pm \sqrt{\frac{1}{2} (- R e + \sqrt{R e^{2} + I m^{2}})}

In der Gleichung

z^{4} + 2 z^{2} + 3 = 0

hatten wir oben den Zwischenschritt

z_{1}^{2} = - 1 + i \cdot \sqrt{2}

und

z_{2}^{2} = - 1 - i \cdot \sqrt{2}

Über die erarbeitete Formel ergeben sich für

z_{1}

die Lösungen:

x = \pm \sqrt{\frac{1}{2} (- 1 + \sqrt{3})}

y = \pm \sqrt{\frac{1}{2} (+ 1 + \sqrt{3})}

und für

z_{2}

die Lösungen:

x = \pm \sqrt{\frac{1}{2} (- 1 + \sqrt{3})}

y = \mp \sqrt{\frac{1}{2} (+ 1 + \sqrt{3})}

oder als Lösungsmenge mit gerundeten Zahlen:
{ 0,605+1,169i ; -0,605-1,169i ; 0,605-1,169i ; -0,605+1,169i }

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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