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Menge abgeschlossen
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Tags: Differentialgeometrie, Differentialtopologie
 
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Hallo, ich brauche für einen Beweis eines anderen Satzes, dass die Menge kompakt ist. Nach Heine-Borel ist eine Menge kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Beschränktheit habe ich gezeigt, nun fehlt noch die Abgeschlossenheit: bedeutet ja, dass , was ein abgeschlossenes Intervall ist. Naiv betrachtet sieht man die Abgeschlossenheit ja durch das bzw die geschlossenen Intervallklammern. Nun fehlt mir die GENAUE Begründung warum abgeschlossen ist, Idee: Jede abgeschlossene Menge lässt sich als Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen darstellen, hier also: für alle natürlichen Zahlen n oder Beweis durch das Folgenkriterium? Danke für jede Hilfe! |
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Hi Lamy, dein Argument klingt im ersten Moment einleuchtend. Allerdings solltest du hier untersuchen, ob die Implikation auch in die Rückrichtung gilt. Damit meine ich folgendes: Du schreibst: Wenn abgeschlossen ist, dann lässt sich als abzählbarer Durchschnitt von offenen Mengen schreiben. Die Umkehrung, die du aber brauchst, lautet: Wenn sich als abzählbarer Durchschnitt von offenen Mengen schreiben lässt, dann ist abgeschlossen. Ich habe jetzt nicht lange darüber nachgedacht, aber die zweite Implikation scheint für mich im allgemeinen nicht zu gelten. Ich persönlich würde die Abgeschlossenheit mit der Definition beweisen, d.h. man zeige, dass das Komplement offen ist. Viele Grüße |
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Danke erstmal für deine Antwort! Ich habe mir auch überlegt dass für jeden metrischen Raum und jeden Punkt und jeden Radius abgeschlossen ist in , das kann man aus den Definitionen ableiten. Damit wäre es hier ja gezeigt, oder? |
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Danke erstmal für deine Antwort! Ich habe mir auch überlegt dass für jeden metrischen Raum und jeden Punkt und jeden Radius abgeschlossen ist in , das kann man aus den Definitionen ableiten. Damit wäre es hier ja gezeigt, oder? |
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Hallo, das Argument klingt einleuchtender und kann meiner Meinung nach verwendet werden, falls es sich tatsächlich um einen metrischen Raum handelt. In deiner ursprünglichen Fragestellung sprichst du nur von topologischen Räumen. Hier müsste genauer untersucht werden, ob dein Argument noch gilt. LG |
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Stimmt, aber ist (und seine Teilmengen) mit dem Abstandsbegriff nicht ein metrischer Raum? |
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EDIT: es muss heißen |
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Doch, ich habe nur kurz übersehen, dass die Zahlen wirklich aus und der Absolutbetrag die hier vorliegende Metrik ist. Ich würde dir das auf einem Übungsblatt oder in einer Prüfung durchgehen lassen :-) |
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Okay, danke für deine Hilfe!! Ist auch nur eine kleine Begründung in einem anderen Beweis, aber wollte die Kompaktheit der Menge nicht einfach so in den Raum werfen, um dumme Anmerkungen zu vermeiden :-) |
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