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Menge aller Abbildungen

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kitingmachine aktiv_icon

07:05 Uhr, 03.12.2020

Ich habe Probleme die Aufgabe zu verstehen also

∣ Y^{X} ∣

soll ja die Menge der Abbildungen von

X

nach

Y

sein, aber was ist dann

∣ Y ∣^{∣ X ∣}

soll das einfach die Mächtigkeit von Y hoch Mächtigkeit von X sein? Finde ich verwirrend weil das eine ja eine schreibweise ist und das andere schon bekannte Mengenrechnerei ist. Naja mein Ansatz lautet wie folgt:

G r a p h : G_{f} \subset ∣ X x Y ∣

und da sich die Abbildungen per Voraussetzung nur durch ihren Graphen unterscheiden ist

∣ Y^{X} ∣ = ∣ X ∣ * ∣ Y ∣

die Mächtigkeit der Menge aller Abbildungen gerade

P (∣ X x Y ∣) = 2^{∣ X ∣ ∣ Y ∣}

Auch unter der Annahme dass die rechte seite den oben beschriebnen Sinn haben soll,komme ich hier nicht weiter danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

07:20 Uhr, 03.12.2020

Hallo,

eigentlich steht alles wichtige im Text.
In deinem Text steht etwas, das ich für Unfug halte:
> Naja mein Ansatz lautet wie folgt: Graph:Gf⊂∣XxY∣

Problem habe ich mit den Betragsstrichen.

Ok, im Text der Aufgabenstellung steht:
> Für die Menge aller Abbildungen

f

von

X

Y

ist auch die Schreibweise

Y^{X}

üblich.

Das ist eigentlich nicht misszuverstehen.
Woher kommt die Schreibweise?
Einerseits kann man damit Vektorräume assoziieren:

K^{n}

Manchmal verwendet man für

n

(dann gern der Eindeutigkeit halber als

\underline{n}

geschrieben

\underline{n} = {1, 2, \dots, n}

.

Damit wäre

K^{\underline{n}}

dann die Menge aller Abbildungen von

\underline{n}

nach

K

.
Wie kann ich die angeben? Etwa als Vektor:

(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array})

. Indem Falle würde einfach

i \mapsto x_{i}

für

1 \leq i \leq n

zu gelten haben.

Mit diesem Hinweis habe ich dir auch einen Weg aufgezeigt, wie man die geforderte Gleichung beweisen kann: FInde einen bijektive Abbildung zwischen

Y^{X}

und

Y^{n}

(wobei

n := ∣ X ∣

sei).
Ich nehme an, dass ihr

∣ A \times B ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣

für endliche Mengen

A, B

schon hattet?!
Daraus lässt sich

∣ A^{n} ∣ = ∣ A ∣^{n}

für endliche

A

induktiv folgern (wen ihr dieses Ergebnis nicht auch schon zur Verfügung habt).

Mfg Michael

kitingmachine aktiv_icon

08:11 Uhr, 03.12.2020

Die betragsstriche machen in der tat keinen sinn, und ich weiss auch dass zb

R^{2} = R x R

das kartesiche produkt der mengen R und R ist. trotzdem konnte ich mir nichts unter

Y^{X}

vorstellen da X eine beliebige menge sein kann und warum sollte gerade das die Menge aller abbildungen von X nach Y darstellen. Was ist wenn ein element aus X zb 0.5 ist was ist denn dann

Y^{0.5}

XD?

michaL aktiv_icon

11:43 Uhr, 03.12.2020

Hallo,

deine Frage zeigt, dass du es nicht nicht verstanden hast.

Gilt

X = {0, 5}

, dann folgt doch

∣ X ∣ = 1

.

Es gilt also:

∣ Y^{X} ∣ = ∣ Y^{{0, 5}} ∣ = ∣ Y ∣^{1}

Was du mit deinem

Y^{0, 5}

willst, kann ich beim besten Willen nicht erkennen.

Mfg Michael

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