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Menge aller Äquivalenzrelationen in N abzählbar?
Universität / Fachhochschule
Relationen
Tags: Relation.
 
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Die Frage sagt eigentlich schon fast alles. Es geht darum, über gewisse Mengen zu sagen, ob sie abzählbar oder überabzählbar sind, sprich ob es eine Bijektion nach gibt oder nicht. Ich weiss jetzt nicht genau, wie ich das bestimmen und beweisen soll. Ich weiss, dass Potenzmengen immer eine Ordnung höher sind, dass das Kreuzprodukt zweier abzählbarer Mengen abzählbar ist, dass abzählbar, überabzählbar ist. Wo muss ich ansetzen? Ich weiss noch nicht mal, wie ich die Menge aller Äquivalenzrelationen zusammen bekomme. Das wäre ja dann eine Menge von NxN-Produkten? Wäre froh über jede Hilfe.. Vielen Dank.. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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ach ja, und ich weiss dass eine Realtion eine Menge ist. Und dass die Äquivalenzrelation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Aber ich weiss nicht, ob das für diese Fragestellung überhaupt relevant ist.. |
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Hallo, eine Äquivalenzrelation auf ist doch eine Teilmenge von , oder? Und deshalb ...! Mfg Michael |
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und deshalb also abzählbar, da eine Teilmenge einer abzählbaren Menge abzählbar ist, und NxN abzählbar ist.. okay.. :-) ich hatte mir aber noch etwas anderes überlegt, aber das scheint demnach falsch zu sein: Wenn man die Elemente von betrachtet und eine Äquivalenzrelation auf dann entspricht ja diese Relation auch den Klassen, in die man einteilen könnte. Also man kann in verschiedene Klassen einteilen und das sind dann gerade die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation. Diese Klassen (wie sie gemacht werden können) entspricht gerade der Potenzmenge von N. Also ich kann beispielsweise nur ein Element nehmen und alle restlichen sind eine Klasse, oder 2 sind eine Klasse und alle restlichen sind eine Klasse,... dies entspricht gerade der Potenzmenge von N. Die Potenzmenge von wäre aber überabzählbar.. Wo liegt denn der Denkfehler in Version 2? Oder liegt der Denkfehler in Version 1 und diese menge ist nicht abzählbar? |
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Hallo, wenn du mir formal eine injektive Abbildung von der Menge der Äquivalenzrelationen in die Potenzmenge von darstellen könntest, würde ich anfangen zu überlegen. Recht hast du, dass eine Äquivalenzrelation die natürlichen Zahlen partitioniert, d.h. ich kann jede Äquivalenzrelation durch ein System von Teilmengen von darstellen, für die gilt: und für . Aber wie du daraus eine injektive Abbildung zu herleiten willst, ist mir nicht klar. Mfg Michael |
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naja.. formal kann ich das nicht.. aber ich hab mir das anhand einer Beispielmenge (statt überlegt. und jetzt, wenn ich es konkret aufzuzeichnen versuche, glaube ich, dass es schief geht.. Also wird deine Überlegung viel mehr Sinn ergeben. Sei Die Potenzmenge von Die Äquivalenzklassen können wie folgt gemacht werden: - keine stehen miteinander in Relation, eine leere Relation.. (hmm.. die ist nicht reflexiv.... also keine Äquivalenzrelation??) würde also wahrscheinlich nicht dazugehören? abgetrennt und die restlichen miteinander in Relation, also analog für und - dann jeweils 2 miteinander in Relation, aber das hatten wir ja eigentlich schon bei einzeln, also würden diese Äquivalenzklassen doppelt gezählt. - alle drei miteinander in Verbindung.. wäre ok. Hmm... Also gibt es sicherlich keine Bijektion von zu Äquivalenzklassen von da in einer Äquivalenzklasse sich beispielsweise und entsprechen, und somit hat es sicherlich weniger Elemente in einer Äquivalenzrelation als in der Potenzmenge (und somit auch keine injektive Abbildung).. Das wird sich analog auf die unendliche Menge übertragen lassen, und mein Argument zerfällt.. Hmm.. schade.. :-D) Aber vielen Dank für deine Antwort.. :-) zumindest weiss ich jetzt die richtige Lösung, und ich kanns auch begründen. :-) |
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