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Menge aller Permutationen S_n ist eine Gruppe?

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, permutation, Symmetrische Gruppe, Verknüpfung

LoudBomb aktiv_icon

17:28 Uhr, 24.01.2017

Hallo liebe onlinemathe Helfer(: vl. könnt ihr mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen.

Angabe: Zeigen Sie, dass die Menge aller Permutationen von

n

Elementen

S_{n}

mit der Verknüpfung

\circ

eine Gruppe ist.

Ich weiß nicht wie ich anfangen soll? Mir ist klar, dass das neutrale Element

e

gleich der Identität sein muss also

i d_{n} \circ σ = σ

und auch, dass es eine Umkehrfunktion

σ^{- 1}

geben muss sodass:

σ^{- 1} \circ σ = i d_{n}

Aber wie zeig ich das und die Abgeschlossenheit und die Assoziativität für

n

Elemente? \:-S

Danke für jede Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

23:20 Uhr, 24.01.2017

Für die Assoziativität kannst du wohl darauf verweisen, dass Verkettung von Abbildungen im Allgemeinen assoziativ ist.
Wenn man möchte, kann man auch das Folgende als kurze Negründung dazuschreiben:

Für beliebiges

x \in {1, ..., n}

und beliebe

σ_{1}, σ_{2}, σ_{3} \in S_{n}

ist:

(σ_{1} \circ (σ_{2} \circ σ_{3})) (x) = σ_{1} ((σ_{2} \circ σ_{3}) (x)) = σ_{1} (σ_{2} (σ_{3} (x))) = (σ_{1} \circ σ_{2}) (σ_{3} (x)) = ((σ_{1} \circ σ_{2}) \circ σ_{3}) (x)

\\\\

Für die Abgeschlossenheit:
Seien

σ_{1}, σ_{2} \in S_{n}

beliebig. Du musst nun zeigen, dass auch

σ_{1} \circ σ_{2} \in S_{n}

ist, also dass

σ_{1} \circ σ_{2}

wieder eine bijektive Abbildung

{1, ..., n} \to {1, ..., n}

ist.

Dass

σ_{1} \circ σ_{2}

eine Abbildung

{1, ..., n} \to {1, ..., n}

ist, ist nach Definition von

\circ

klar, da

σ_{1}, σ_{2} \in S_{n}

Abbildungen

{1, ..., n} \to {1, ..., n}

sind.

Um die Bijektivität zu zeigen, ist es wohl am einfachsten ein inverses Element anzugeben.
Rechne also kurz nach, dass

σ_{2}^{- 1} \circ σ_{1}^{- 1}

ein passendes Inverses ist.

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