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Menge aller Stetigkeitspunkte bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Funktion, Stetigkeit, Stetigkeitspunkte

 
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gotnoidea

gotnoidea aktiv_icon

20:06 Uhr, 15.12.2014

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Hi,

ich soll die Menge der Stetigkeitspunkte der Funktionen:

(a) f:ℝ→ℝ,x wird abgebildet auf [x]
(b) f:ℝ→ℝ mit f(x):=1 für x∈ℚ und f(x):=0 für x∈ℝ ℚ
(c) f:ℝ+→ℝ mit f(x):=1x2 exp (-1x) für x>0 und f(x):=0 für x=0

Was macht die Funktion in (a) überhaupt? Ich habe diese Schreibweise noch nie gesehen und Google hilft mir irgendwie auch nicht weiter..

Was bedeutet es, die Menge der Stetigkeitspunkte zu bestimmen? Zum Beispiel finde ich in (b) doch immer eine rationale Zahl zwischen zwei irrationalen und umgekehrt..dass die Funktion an sich nicht stetig ist, ist offensichtlich..aber ist die Menge der Stetigkeitspunkte hier die leere Menge? Wie begründe ich das richtig?


LG und Danke


Edit: ich erweitere die Frage bzw. Meine Gedanken nachher noch..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:16 Uhr, 15.12.2014

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"Was macht die Funktion in (a) überhaupt?"

Es ist manchmal vom Vorteil, die Vorlesungen zu besuchen. ;-)
Es ist die Gaussklammer.

"Was bedeutet es, die Menge der Stetigkeitspunkte zu bestimmen?"

Alle Punkte, in welchen Funktion stetig ist, was sonst?

"Zum Beispiel finde ich in (b) doch immer eine rationale Zahl zwischen zwei irrationalen und umgekehrt..dass die Funktion an sich nicht stetig ist, ist offensichtlich..aber ist die Menge der Stetigkeitspunkte hier die leere Menge?"

Ja.

"Wie begründe ich das richtig?"

Z.B. durch Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten.
gotnoidea

gotnoidea aktiv_icon

23:28 Uhr, 15.12.2014

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Ich habe es doch im Vorlesungsskript gefunden.. Wurde nur nebenbei unter "Beispiele für reelle Funktionen" einmal erwähnt: "Zu jedem x∈ℝ  ∃!n∈ℕ mit n≤x<n+1 (Bezeichnung [x])" - nicht sehr aufschlussreich, wie ich finde. Die Vorlesungen besuche ich selbstverständlich alle. Dennoch ist mir unklar ob f(x)=[x] gleich der natürlichen Zahl n ist..also was z.B. f(2,4) ist (ich würde lt. Def. 2 vermuten).. warum bildet f dann von ℝ nach ℝ ab und nicht nach ℤ ?

Trotzdem komme ich nicht mit der Menge der Stetigkeitspunkte klar.. schon in (a).. Hier interessieren ja v.a. die ganzen Zahlen bei der Stetigkeitsbetrachtung. Wie sieht hier die Menge der Stetigkeitspunkte aus? Ich habe Schwierigkeiten festzustellen, wo genau f eben nicht stetig ist.. wäre nett wenn du mir da nochmal hilfst..

LG
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:24 Uhr, 16.12.2014

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"warum bildet f dann von ℝ nach ℝ ab und nicht nach ℤ ?"

Nach ℤ wäre auch richtig. Aber da ℤ eine Teilmenge von ℝ ist, kann man auch sagen: nach ℝ. Niemand sagt doch, dass die Abbildung surjektiv ist.
Und Deine Vermutung ist richtig, f(2.4)=2. Allgemein ist f einfach der Ganzteil einer Zahl.
Stetig ist f in allen Punkten außer in ℤ. Das ist leicht zu sehen, wenn man den Graphen zeichnet - da kommt so eine Treppenfunktion raus.
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