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Menge auf Kompaktheit untersuchen

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Kompakte Menge, Menge, Mengentheoretische Topologie

tina12 aktiv_icon

09:39 Uhr, 21.06.2013

Hallo,

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen??

Untersuchen Sie die Menge

M := {(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} - y^{2} = 1} \subset ℝ 2

auf Kompaktheit.

Wie ganu muss ich da vorgehen??

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

14:48 Uhr, 21.06.2013

Hallo tina12,

das kommt ganz drauf an, wie bei euch Kompaktheit definiert ist. Es gibt nämlich -als Standardformulierung- Folgenkompaktheit, Überdeckungskompaktheit und dann noch die Kompaktheit nach Haine-Borel (man zeigt dann aber, dass diese 3 Definitionen zumindest in

ℝ^{n}

als normierter Raum übereinstimmen). Man weiß also so erst einmal gar nicht, was du tun müsstest...

Lieben Gruß
Sina

tina12 aktiv_icon

12:05 Uhr, 23.06.2013

Ich habe mir dazu folgendes überlegt.

Ich will die Kompaktheit mit Heine-Borel zeigen. Da muss ich ja nur zeigen, dass die Menge beschränkt und abgeschlossen ist.
Ich versuche es mal mit einem Widerspruchsbeweis:

Ich will zeigen, dass

M

nicht beschränkt ist.
Angenommen es gibt ein

B_{r} (x) \subseteq ℝ^{2}

mit

M \subseteq B_{r} (x)

.
Dann enthält

B_{r} (x)

den Punkt

(1,0) \in ℝ^{2}

.
Weiterhin enthält

B_{r} (x)

den Punkt

(1 + 2 r, \sqrt{4 r^{2} + 4 r}),

denn

{(1 + 2 r)}^{2} - {(\sqrt{4 r^{2} + 4 r})}^{2} = 1 + 4 r + 4 r^{2} - 4 r^{2} - 4 r = 1

Es gilt aber

d ((1,0), (1 + 2 r, \sqrt{4 r^{2} + 4 r})) = \sqrt{4 r^{2} + 4 r^{2} + 4 r} > 2 r

was ein Widersruch zur Annahme.
Damit ist

M

nach Heine-Borel nicht kompakt.

Kann ich das so machen?

Lieben Gruß Tina

Sina86

16:37 Uhr, 23.06.2013

Das sieht eigentlich ganz gut aus, was du gemacht hast. Du solltest allerdings noch erwähnen, was dein

x

B_{r} (x)

ist. Damit das funktioniert solltest du

x = (1, 0)

setzen, dann sticht dein Argument mit

d ((1, 0), (1 + 2 r, \sqrt{4 r^{2} + 4 r})) > 2 r

nämlich.

Darüber hinaus würde ich noch einmal extra betonen, dass der Punkt

(1 + 2 r, \sqrt{4 r^{2} + 4 r}) \in B_{r} (x)

liegt, da

(1 + 2 r, \sqrt{4 r^{2} + 4 r}) \in M \subseteq B_{r} (x)

. Das machst du zwar, aber beim ersten durchlesen war mein (nicht richtiger) Kritikpunkt am Beweis, dass offensichtlich

(1 + 2 r, \sqrt{4 r^{2} + 4 r}) \notin B_{r} (x)

ist.

Der Beweis gefällt mir eigentlich gut, aber natürlich könntest du auch direkt argumentieren, denn die Folge

(\sqrt{1 + n^{2}}, n), n \in ℕ

ist nämlich eine unbeschränkte Folge in

M

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