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Menge der algebraischen Zahlen ist abzaehlbar

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Tags: polynom, Relation., Ring

 
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Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

16:56 Uhr, 05.10.2021

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N'Tag ich gruesse euch,
es gibt einen Teil im Beweis, den ich nicht schluessig finde.

Vorerst eine Notiz: Zwei Mengen A und B sind aquivalent, wenn es eine Bijektion f von A nach B gibt.

Ich verstehe garnet wieso die Menge der algebraischen Zahlen A (bekomm irgendwie dieses Kaestchen net weg)zu einer Teilmenge von A aquivalent ist.

Da stehts irgendwie so als waers trivial.
Also was ich dazu sagen kann ist folgendes:
Zu jeder algebraischen Zahl α gibt es ein Polynom Pα(x), das
α als Nullstelle hat und die Menge solcher Polynome ist abzaehlbar.

Screenshot (137)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:05 Uhr, 05.10.2021

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Was genau verstehst du im Beweis nicht?
Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

17:11 Uhr, 05.10.2021

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Warum ist A aequivalent zu einer Teilmenge von A?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:19 Uhr, 05.10.2021

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Was ist hier unter äquivalent gemeint?

Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:28 Uhr, 05.10.2021

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Der Beweis ist auf jedem Fall schlampig gemacht. Leider ist gerade dieser Beweis oft unvollständig.
In Wirklichkeit muss man nicht einfach Polynome zählen, sondern jedes Polynom so oft zählen, wie seine Potenz ist. Das ist z.B. hier sauber gemacht:
www.quora.com/How-do-I-show-that-the-set-of-all-algebraic-numbers-is-countable
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

18:19 Uhr, 05.10.2021

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Für mich ist auch einleuchtender der Beweis, wo stattdessen mit

Mn={x(a0,,an){-n,-n+1,,n-1,n}n+1\{(0,,0)}:anxn++a1x+a0=0}

gearbeitet wird. Da hat man sogar endliche, bzgl. n monoton wachsende Mengen Mn, und der Grenzwert der Mengenfolge ist die Menge der algebraischen Zahlen.

Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

18:51 Uhr, 05.10.2021

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Alles klar, vielen Dank fuer euren Beitrag^^ Mir faellt grad ein, haette nicht auch sagen koennen, dass die Menge An fuer jedes n abzaehlbar ist. Jetzt wissen wir, dass jedes Polynom max n Nullstellen hat. Sei also Tp die Menge der Nullstellen des Polynoms p, dann ist die ja abzaehlbar. Dann haben wir
A=pAnTp was als abzaehlbare Vereinigung abzaehlbarer Mengen abzaehlbar ist.
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