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Menge der algebraischen Zahlen ist abzaehlbar
Universität / Fachhochschule
Polynome
Relationen
Ringe
Tags: polynom, Relation., Ring
 
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N'Tag ich gruesse euch, es gibt einen Teil im Beweis, den ich nicht schluessig finde. Vorerst eine Notiz: Zwei Mengen und sind aquivalent, wenn es eine Bijektion von nach gibt. Ich verstehe garnet wieso die Menge der algebraischen Zahlen (bekomm irgendwie dieses Kaestchen net weg)zu einer Teilmenge von aquivalent ist. Da stehts irgendwie so als waers trivial. Also was ich dazu sagen kann ist folgendes: Zu jeder algebraischen Zahl gibt es ein Polynom , das als Nullstelle hat und die Menge solcher Polynome ist abzaehlbar.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Was genau verstehst du im Beweis nicht? |
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Warum ist aequivalent zu einer Teilmenge von ? |
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Was ist hier unter äquivalent gemeint? |
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Der Beweis ist auf jedem Fall schlampig gemacht. Leider ist gerade dieser Beweis oft unvollständig. In Wirklichkeit muss man nicht einfach Polynome zählen, sondern jedes Polynom so oft zählen, wie seine Potenz ist. Das ist z.B. hier sauber gemacht: www.quora.com/How-do-I-show-that-the-set-of-all-algebraic-numbers-is-countable |
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Für mich ist auch einleuchtender der Beweis, wo stattdessen mit gearbeitet wird. Da hat man sogar endliche, bzgl. monoton wachsende Mengen , und der Grenzwert der Mengenfolge ist die Menge der algebraischen Zahlen. |
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Alles klar, vielen Dank fuer euren Beitrag^^ Mir faellt grad ein, haette nicht auch sagen koennen, dass die Menge fuer jedes abzaehlbar ist. Jetzt wissen wir, dass jedes Polynom max Nullstellen hat. Sei also die Menge der Nullstellen des Polynoms , dann ist die ja abzaehlbar. Dann haben wir was als abzaehlbare Vereinigung abzaehlbarer Mengen abzaehlbar ist. |
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