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Menge der ganzen Funktionen als Ring

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

 
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Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

14:04 Uhr, 13.09.2021

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Hallo zusammen,

Es sei G der Ring der ganzen Funktionen einer komplexen Veraenderlichen z.
Jetzt muss ich zeigen, dass G ein Integritaetsbereich ist.
Dabei verstehe ich net wie man die Nullteilerfreiheit zeigt.
Also es seien f,g zwei komplexwertige Funktionen. Wir nehmen an, dass f0,d.h
es gibt ein a mit f(a)0. Jetzt kommt die Aussage mit dem Identitaetssatz. Nach diesem gibt es eine Umgebung U von a, in der gilt f(z)0 fuer alle zU. Das verstehe ich net so ganz.

Also irgendwie muss man doch so argumentieren.
Angenommen in der Umgebung U von a gibt es ein xU mit f(x)=0.
Dann betrachtet man die Menge A:={zf(z)=0}.
Wenn diese einen Haufungspunkt besitzt, so ist nach dem Identitaetssatz
f=0 auf und liefert ein Widerspruch zu f(a)0.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

16:36 Uhr, 13.09.2021

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Ich habs mir jetzt anders ueberlegt:
Es sei f0. Dann existiert ein a, sodass f(a)0. Aufgrund der Stetigkeit gibt es eine Umgebung U von a, auf der f nicht verschwindet. Damit erhalten wir aus fg=0, dass gU=0.
Jetzt muss man irgendwie den Identitaetssatz anwenden.
Definiere wieder A:={zg(z)=0}. Dann wissen wir ja UA. Sei xU. Da U offen ist, ist auch die Folge {zn=x+1/n}n in U, also in A. Und damit ist x Haufungspunkt von A, woraus dann folgt, g0.
Naja irgendwie faellt mir nichts besseres ein...
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:55 Uhr, 13.09.2021

Antworten
Hallo,

im Prinzip richtig. Allerdings kannst Du nicht wissen, dass konkret x+1nU liegt (U könnte ganz klein sein). Aber auf jeden Fall ist x Häufungspunkt von U.

Gruß pwm
Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

18:07 Uhr, 13.09.2021

Antworten
Hallo pwmeyer,
ich danke dir mal wieder fuer deine Hilfe!^^
Also koennten wir auch rein theoretisch eine Teilfolge definieren {zn=x+1/n} fuer so grosse n, dass jedes Folgenglied in U ist?
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

19:34 Uhr, 14.09.2021

Antworten
Hallo,

ja, das geht.

Grß pwm
Frage beantwortet
Ulrich1666

Ulrich1666 aktiv_icon

19:51 Uhr, 14.09.2021

Antworten
Hallo pwmeyer,
nochmals vielen Dank!^^