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Menge, die alle 9 Körperaxiome erfüllt

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Tags: Körperaxiome, Menge

 
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Farbenfroh

Farbenfroh aktiv_icon

11:26 Uhr, 27.10.2013

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Schönen guten Tag!
Ich bin seit diesem Semester Ersti für den Bsc. Sc. Informatik, Analysis spielt gleich zu Beginn eine große Rolle ;-) Wir haben eine kleine Gruppenaufgabe, die wir abgeben müssen, bei einer Teilaufgabe sind wir uns jedoch nicht sicher, dass wir sie richtig verstanden haben.

Aufgabenstellung:
Zeige, dass die Menge IF2:={0,1} zusammen mit der Addition (+) [zu beachten ist: 1+1=0] und der üblichen Multiplikation alle Körperaxiome A1 bis A9 erfüllt.
Warum könnte es wichtig sein, geraden diesen Körper und seine Struktur zu kennen?

Was mir gleich bei der Aufgabenstellung unklar ist: was soll dieser Hinweis von wegen 1+1=0?

Gut, nun zum bisherigen Lösungansatz:
Wir sind nun einfach alle neun Körperaxiome durchgegangen und haben für die Variable x=0 und für y=1 eingesetzt.

A1)x+y=y+x
⇒0+1=1 und 1+0=1, richtig

A2)x+(y+z)=(x+y)+Z
⇒ siehe A1, Assoziativgesetz ist hier nicht nötig

A3) xy = yx
⇒0⋅1=0 und 1⋅0=0, richtig

und so weiter und so fort.

Ich glaube jedoch, dass wir da total auf dem Holzweg sind, da gleich bei dem zweiten Axiom, dem Assoziativgesetz der Addition, eine dritte Variable (z) vorkommt, die in unserer Menge gar nicht enthalten ist.
Mal abgesehen davon, würde A9 auf diese Art auch nicht aufgehen:

A9) Zu jedem xER, x ungleich 0, gibt es GENAU EIN yER, so dass x⋅y=1
Oder kann man hier sagen, dass dieses Gesetzt sofort abgehakt ist, da die Prämisse schon gar nicht erfüllt ist, da x=0 und nicht ungleich 0 ist?


Wäre nett wenn sich jemand melden würde! Auch wenns viel zu lesen gibt.

Zur Bonusfrage, weshalb es wichtig ist diesen Körper und seine Struktur zu kennen:
Ansatz: Weil es der einfachste Körper ist, den es gibt, und man somit schon mal bewiesen hat, dass die 9 Körperaxiome dort auf jeden fall richtig sind und man auf dieser Grundlage alle weiteren Körper darauf hin untersuchen kann!?


LG Dennis

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Apfelkonsument

Apfelkonsument aktiv_icon

11:50 Uhr, 27.10.2013

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Hallo,

"Was mir gleich bei der Aufgabenstellung unklar ist: was soll dieser Hinweis von wegen 1+1=0?" Nunja, das ist nunmal etwas, woran sich Erstsemester gerne aufhängen, deswegen steht es da extra.

Zu dem Rest:


ihr könnt nicht einfach für x und y irgendwelche Zahlen einsetzen. Es muss für ALLE Elemente des Körpers gelten. Ihr müsst also alle Kombinationen durchprobieren:

x=0, y=0,
x=0, y=1,
x=1, y=0,
x=1, y=1

Und wenn z dazukommt werden daraus 8 Fälle. Was ihr allerdings machen könnt, ist, zuerst die Kommutativität für + und * zu zeigen. Dann fallen zumindest die Fälle x=0, y=1 und x=1, y=0 beim Beweis der Assoziativität zu einem Fall zusammen.

Auch was ihr zum Inversen schreibt. Ihr könnt nicht voraussetzen, dass x=0 und y=1. Ihr müsst die Existenz des Inversen für ALLE Elemente x UNGLEICH 0 zeigen. Da bleibt immernoch x=1.

Zur Bonusfrage: Eure Idee ist sicher richtig, ich würde aber auchmal in Richtung Binärzahlen denken, mit denen ihr in eurem Studiengang ja konfrontiert werden werdet.


Soviel erstmal dazu. Bei Rückfragen meldet euch.
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